Найди точки экстремума и нарисуй график простой функции y=11x2ex​

Лёля_6753

49

Хорошо! Для того чтобы найти точки экстремума функции \(y = 11x^2e^x\), нам необходимо проделать несколько шагов. Давайте начнем с нахождения первой и второй производных функции.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(y\).
Чтобы найти производную функции \(y = 11x^2e^x\), мы будем использовать правило производной произведения функций и правило дифференцирования экспоненты. Производная функции \(y\) может быть найдена следующим образом:

\[y" = (11x^2)"(e^x) + (e^x)(11x^2)"\]

Раскроем скобки и продифференцируем функции в скобках:

\[y" = (22x)(e^x) + (e^x)(22x)\]

\[y" = 22xe^x + 22xe^x\]

\[y" = 44xe^x\]

Шаг 2: Найдем вторую производную функции \(y\).
Чтобы найти вторую производную функции \(y = 44xe^x\), мы снова воспользуемся правилами дифференцирования произведения функций и экспоненты:

\[y"" = (44x)""(e^x) + (e^x)(44x)""\]

Проведем дифференцирование:

\[y"" = (44)(e^x) + (e^x)(44)\]

\[y"" = 88e^x + 44e^x\]

\[y"" = 132e^x\]

Шаг 3: Найдем точки экстремума функции.
Точки экстремума функции находятся там, где ее первая производная равна нулю или не существует. Давайте найдем такие точки, решив уравнение \(y" = 44xe^x = 0\):

\[44xe^x = 0\]

Чтобы это уравнение выполнялось, \(44x = 0\) или \(e^x = 0\). Однако, экспонента \(e^x\) не может равняться нулю, так как \(e^x\) является всегда положительным числом. Поэтому \(44x = 0\) и \(x = 0\).

Таким образом, мы получаем, что точка экстремума функции находится при \(x = 0\). Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \(x = 0\) обратно в исходную функцию \(y = 11x^2e^x\):

\[y = 11(0)^2e^0\]
\[y = 11 \cdot 0 \cdot 1\]
\[y = 0\]

Теперь мы знаем, что точка экстремума функции находится в точке \((0, 0)\).

Шаг 4: Нарисуем график функции.
Для наглядности и понимания графика функции \(y = 11x^2e^x\), давайте нарисуем его на координатной плоскости.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & -4.939 \\
-1 & -0.553 \\
0 & 0 \\
1 & 11 \\
2 & 52.105 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим эти точки на графике и соединим их гладкой кривой. График будет иметь форму выпуклого параболы ветвями вверх.

Таким образом, точка экстремума находится в \(x = 0\), а график функции представляет собой выпуклую параболу с вершиной в точке \((0, 0)\).

Надеюсь, этот ответ был понятен и информативен для вас! Я всегда готов помочь вам в учебе.