Найдите целочисленные решения следующих неравенств: 1) 6x - 5/4х + 1 < 0 2) 2х-5/х+1 < 0 3) 2-3х/2х+7 > 0 4) 7х-5/4-х

Sverkayuschiy_Dzhinn_2303

46

Конечно, я могу помочь с решением неравенств. Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1) Неравенство: \(6x - \frac{5}{4}x + 1 < 0\)

Для начала нужно объединить переменные \(x\). Умножим оба числители и знаменатели второго слагаемого на 4, чтобы избавиться от дроби.

\(24x - 5x + 4 < 0\)

Упрощаем выражение:

\(19x + 4 < 0\)

Теперь выразим переменную \(x\):

\(19x < -4\)

\(x < -\frac{4}{19}\)

Таким образом, целочисленные решения данного неравенства - это все целые числа меньше, чем \(-\frac{4}{19}\).

2) Неравенство: \(2x - \frac{5}{x} + 1 < 0\)

Для начала нужно объединить переменные \(x\). Умножим оба числители и знаменатели второго слагаемого на \(x\), чтобы избавиться от дроби.

\(2x^2 - 5 + x < 0\)

Теперь упростим выражение и приведем его к квадратному уравнению:

\(2x^2 + x - 5 < 0\)

Решим это уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение. Но сначала нужно найти его корни.

Корни квадратного уравнения \(2x^2 + x - 5\) могут быть найдены с помощью формулы дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

\(a = 2, b = 1, c = -5\)

\(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot -5 = 41\)

Так как дискриминант \(D\) положителен, то у нас есть два различных корня.

Формула для нахождения корней:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Подставляем значения в формулу:

\(x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 2}\)

\(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{4}\), \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{4}\)

Теперь, чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие неравенству, нужно проанализировать интервалы. Ложим каждый интервал на числовую ось и выбираем значения \(x\) внутри каждого интервала, при которых неравенство выполняется.

Мы знаем, что \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{4}\), \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{4}\).

Таким образом, целочисленные решения данного неравенства будут находиться в одном из следующих интервалов:

\((- \infty, x_2)\), \((x_1, + \infty)\).

3) Неравенство: \(2 - \frac{3x}{2x + 7} > 0\)

Для начала нужно упростить выражение, избавившись от дроби. Умножим оба числителя и знаменателя на \(2x + 7\).

\(2(2x + 7) - 3x > 0\)

\(4x + 14 - 3x > 0\)

\(x + 14 > 0\)

Для того чтобы найти решение данного неравенства, вычтем 14 из обеих частей:

\(x > -14\)

Таким образом, целочисленные решения данного неравенства - это все целые числа, больше, чем -14.

4) Неравенство: \(7x - \frac{5}{4 - x}\)

Для начала нужно упростить выражение, избавившись от дроби. Умножим оба числителя и знаменателя на \(4 - x\).

\(7x(4 - x) - 5 > 0\)

\(28x - 7x^2 - 5 > 0\)

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(7x^2 - 28x + 5\), используя формулу дискриминанта.

\(D = b^2 - 4ac\)

\(a = 7, b = -28, c = 5\)

\(D = (-28)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 784 - 140 = 644\)

Так как дискриминант \(D\) положителен, то у нас есть два различных корня.

Формула для нахождения корней:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Подставляем значения в формулу:

\(x_{1,2} = \frac{28 \pm \sqrt{644}}{14}\)

\(x_1 = \frac{28 + \sqrt{644}}{14}\), \(x_2 = \frac{28 - \sqrt{644}}{14}\)

Теперь, чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие неравенству, нужно проанализировать интервалы. Ложим каждый интервал на числовую ось и выбираем значения \(x\) внутри каждого интервала, при которых неравенство выполняется.

Мы знаем, что \(x_1 = \frac{28 + \sqrt{644}}{14}\), \(x_2 = \frac{28 - \sqrt{644}}{14}\).

Таким образом, целочисленные решения данного неравенства будут находиться в одном из следующих интервалов:

\((- \infty, x_2)\), \((x_1, + \infty)\).