Найдите целочисленные решения уравнения x2−xy=x−y+1. Если существует несколько решений, введите каждое решение (x,y

Raisa_8335

37

Для начала, давайте приведем уравнение к более удобному виду. Раскроем скобки в левой части уравнения и перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[x^2 - xy - x + y = 1\]

Теперь объединим подобные слагаемые:

\[x^2 - x - xy + y = 1\]

Вынесем общий множитель:

\[x(x - 1) - y(x - 1) = 1\]

Получаем:

\[(x - y)(x - 1) = 1\]

Теперь заметим, что уравнение сводится к нахождению двух чисел, произведение которых равно 1. Единственными возможными значениями для произведения двух чисел, равного 1, являются 1 и -1.

Рассмотрим первый случай, когда \((x - y) = 1\). Тогда, если подставим это значение в исходное уравнение, получим:

\[1 \cdot (x - 1) = 1\]

Раскроем скобки:

\[x - 1 = 1\]

Прибавим 1 к обеим сторонам:

\[x = 2\]

Таким образом, найдено первое решение: \(x = 2\), \(y = 1\).

Теперь рассмотрим случай, когда \((x - y) = -1\). Подставим это значение в исходное уравнение:

\[-1 \cdot (x - 1) = 1\]

Раскроем скобки:

\[-x + 1 = 1\]

Вычтем 1 из обеих сторон:

\[-x = 0\]

Получаем \(x = 0\). Теперь найдем значение \(y\) подставив \(x = 0\) в уравнение \(x - y = -1\):

\[0 - y = -1\]

Выразим \(y\):

\[y = 1\]

Таким образом, найдено второе решение: \(x = 0\), \(y = 1\).

Итак, у нас есть два целочисленных решения для уравнения \(x^2 - xy = x - y + 1\):

1) \(x = 2\), \(y = 1\)

2) \(x = 0\), \(y = 1\)