Сколько действий (переливаний) потребуется Шреку, чтобы соответствие между бутылками и этикетками было достигнуто

Magiya_Zvezd

52

Данная задача связана с теорией вероятностей. Представим, что у Шрека есть \(n\) бутылок и \(n\) этикеток, и изначально они случайным образом перемешаны. Задача состоит в том, чтобы Шрек правильно распределить этикетки по бутылкам.

Первое действие, которое Шрек может совершить, это выбрать любую бутылку и проверить этикетку на ней. После этого он должен пометить, была ли эта этикетка правильной или неправильной.

Если этикетка на выбранной бутылке оказалась правильной, то Шреку не нужно ничего менять, и он может перейти к следующей бутылке.

Если этикетка на выбранной бутылке оказалась неправильной, то Шрек должен поменять этикетки на двух бутылках. Но перед тем, как поменять этикетки, Шреку необходимо определить, какую из двух выбранных бутылок пометить. Для этого он должен выбрать одну из бутылок наугад и проверить этикетку на ней. Если этикетка на выбранной бутылке оказалась правильной, то Шреку нужно пометить другую бутылку, как неправильную, а если этикетка оказалась неправильной, то Шреку нужно пометить выбранную бутылку, как неправильную.

Таким образом, после каждого действия проверки Шрек либо переходит к следующей бутылке, либо меняет местами этикетки на двух бутылках и продолжает проверку. Процесс продолжается до тех пор, пока все бутылки не будут верно помечены.

Теперь оценим минимальное и максимальное количество действий, которые потребуются Шреку. Минимальное количество действий соответствует случаю, когда этикетки на бутылках соответствуют их содержимому с самого начала. В этом случае Шреку достаточно проверить каждую бутылку по одному разу, т.е. в сумме \(n\) действий.

Максимальное количество действий соответствует случаю, когда этикетки на бутылках полностью не соответствуют их содержимому с самого начала. В этом случае Шреку придется менять местами этикетки на каждой паре бутылок до тех пор, пока все бутылки не будут верно помечены. Поскольку каждая проверка требует двух действий (проверка этикетки и, при необходимости, обмен этикетками), общее количество действий будет равно \(2(n-1) + 1 = 2n-1\).

Таким образом, количество действий (переливаний) потребуемых Шреку для достижения соответствия между бутылками и этикетками будет находиться в диапазоне от \(n\) до \(2n-1\).