Найдите центр и радиус вписанного круга в треугольник, образованный линиями x+y+12=0, 7x+y=0 и 7x-y+28=0

Фонтан_8768

38

Чтобы найти центр и радиус вписанного круга в треугольник, сначала нужно найти точки пересечения всех трех прямых. Затем, с помощью найденных точек, мы сможем определить уравнение окружности, вписанной в треугольник.

1. Найти точку пересечения прямых x+y+12=0 и 7x+y=0:
Для этого, решим систему уравнений. Выразим y из первого уравнения: y = -x - 12
Подставим это значение во второе уравнение:
7x + (-x - 12) = 0
6x = 12
x = 2
Подставим x в первое уравнение, чтобы найти y:
2 + y + 12 = 0
y = -14
Таким образом, первая точка пересечения прямых имеет координаты (2, -14).

2. Найти точку пересечения прямых 7x+y=0 и 7x-y+28=0:
Для этого, также решим систему уравнений. Выразим y из первого уравнения: y = -7x
Подставим это значение во второе уравнение:
7x - (-7x) + 28 = 0
14x + 28 = 0
14x = -28
x = -2
Подставим x в первое уравнение, чтобы найти y:
7(-2) + y = 0
-14 + y = 0
y = 14
Вторая точка пересечения прямых имеет координаты (-2, 14).

3. Найти точку пересечения прямых x+y+12=0 и 7x-y+28=0:
Для этого, подставим значение y из первого уравнения во второе уравнение:
7x - (-x - 12) + 28 = 0
7x + x + 12 + 28 = 0
8x + 40 = 0
8x = -40
x = -5
Подставим x в первое уравнение, чтобы найти y:
-5 + y + 12 = 0
y = -7
Третья точка пересечения прямых имеет координаты (-5, -7).

4. Теперь, когда у нас есть координаты трех точек пересечения прямых, мы можем найти центр и радиус вписанного круга в треугольник. Для этого, найдем середину отрезка, соединяющего точки пересечения прямых.
Середина отрезка AB с координатами (x1, y1) и (x2, y2) можно найти по формуле:
\( x_c = \frac{{x_1 + x_2}}{2} \)
\( y_c = \frac{{y_1 + y_2}}{2} \)

Для точек (2, -14) и (-2, 14):
\( x_c = \frac{{2 + (-2)}}{2} = 0 \)
\( y_c = \frac{{-14 + 14}}{2} = 0 \)
Значит, центр вписанного круга имеет координаты (0, 0).

5. Теперь найдем радиус вписанного круга. Радиус круга равен расстоянию от центра круга до одной из вершин треугольника. Выберем любую вершину, например, вершину A с координатами (2, -14).
Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) можно найти по формуле:
\( d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}} \)

\( d = \sqrt{{(0 - 2)^2 + (0 - (-14))^2}} = \sqrt{{4 + 196}} = \sqrt{{200}} = 10\sqrt{{2}} \)
Значит, радиус вписанного круга равен \( 10\sqrt{{2}} \).

Таким образом, центр вписанного круга в треугольник, образованный линиями x+y+12=0, 7x+y=0 и 7x-y+28=0, имеет координаты (0, 0), а радиус равен \( 10\sqrt{{2}} \).