Найдите центр вписанной окружности треугольника ∆ABC, если известно, что точка D является перпендикуляром к плоскости

Солнце_3891

4

Для начала определимся с тем, что такое вписанная окружность треугольника. Вписанная окружность треугольника — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника.

Чтобы найти центр вписанной окружности треугольника ∆ABC, нам понадобятся несколько шагов.

Шаг 1: Найдите полупериметр треугольника.
Полупериметр треугольника вычисляется по формуле: \(s = \frac{{AB + AC + BC}}{2}\).
Значения сторон AB, AC и BC даны в задаче: AB = 25, AC = 15 и BC = 20. Подставляя эти значения в формулу, получаем: \(s = \frac{{25 + 15 + 20}}{2} = \frac{60}{2} = 30\).

Шаг 2: Найдите площадь треугольника.
Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона: \(S = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)}\).
Значение полупериметра \(s\) мы нашли в предыдущем шаге (30), а значения сторон AB, AC и BC мы знаем из условия (AB = 25, AC = 15 и BC = 20). Подставляя эти значения в формулу, получаем: \(S = \sqrt{30(30 - 25)(30 - 15)(30 - 20)}\).

Вычисляя соответствующие разности и выполняя вычисления, получим: \(S = \sqrt{30 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 10} = \sqrt{22500} = 150\).

Шаг 3: Найдите радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности треугольника можно найти, используя формулу: \(r = \frac{S}{s}\).
Значение площади треугольника мы нашли на предыдущем шаге (150), а значение полупериметра также известно (30). Подставляя эти значения в формулу, получаем: \(r = \frac{150}{30} = 5\).

Шаг 4: Найдите координаты центра вписанной окружности треугольника.
Для нахождения координат центра вписанной окружности нам понадобятся точки пересечения биссектрис треугольника.

Пусть точки пересечения биссектрис треугольника АВ, АС и ВС будут соответственно I, J и K.

Точка пересечения биссектрис боковой стороны АВ и главной диагонали СК будет совпадать с центром вписанной окружности. Обозначим эту точку как О.

Теперь найдем координаты точки О.

Чтобы найти координаты точки О, нам нужно найти середину стороны АС (точку на биссектрисе боковой стороны). Обозначим эту точку как М.

Найдем координаты точки М.
Если А (0, 0), В (25, 0), С (15, 20), D (0, d), O (x, y), то для точки М справедливо следующее:
\(M(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2})\).
Так как А (0, 0) и С (15, 20), подставляем эти значения в формулу и находим координаты точки М:
\(M(\frac{{0 + 15}}{2}, \frac{{0 + 20}}{2}) = (7.5, 10)\).

Точка О будет лежать на пересечении отрезков АМ и СК.

Найдем уравнение прямой АМ.
Используем формулу уравнения прямой: \(y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\).
Подставляем значения точек А (0, 0) и М (7.5, 10) в формулу и находим уравнение прямой АМ:
\(y - 0 = \frac{{10 - 0}}{{7.5 - 0}}(x - 0)\).
Упрощаем это уравнение:
\(y = \frac{4}{3}x\).

Найдем уравнение прямой СК.
Используем формулу уравнения прямой: \(y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\).
Подставляем значения точек С (15, 20) и К (25, 0) в формулу и находим уравнение прямой СК:
\(y - 20 = \frac{{0 - 20}}{{25 - 15}}(x - 15)\).
Упрощаем это уравнение:
\(y = -2x + 50\).

Теперь найдем точку пересечения этих двух прямых, которая будет координатами точки О.

Решим систему уравнений:
\(\begin{cases} y = \frac{4}{3}x \\ y = -2x + 50 \end{cases}\)

Приведем первое уравнение к виду \(y = -\frac{3}{2}x + \frac{50}{2}\):
\(y = -\frac{3}{2}x + 25\).

Подставляем это второе уравнение в первое уравнение:
\(-\frac{3}{2}x + 25 = -2x + 50\).

Упрощаем это уравнение:
\(2x - \frac{3}{2}x = 50 - 25\),
\(\frac{1}{2}x = 25\),
\(x = 50\).

Теперь подставляем найденное значение x в уравнение \(y = -\frac{3}{2}x + 25\):
\(y = -\frac{3}{2} \cdot 50 + 25\),
\(y = -75 + 25\),
\(y = -50\).

Таким образом, координаты точки О, центра вписанной окружности треугольника ∆ABC, равны (50, -50).