Чему равен радиус основания конуса, если круговой сектор радиусом 13 см свернут в виде боковой поверхности этого

Pyatno

52

Конус можно представить как свернутый круговой сектор. Давайте сначала найдем длину окружности основания \( C \). Для этого воспользуемся формулой \( C = 2\pi r \), где \( r \) - радиус окружности.

Так как конус свернут из кругового сектора с радиусом 13 см, то длина окружности сечения в основании будет равна периметру этого круга. Из уравнения длины окружности найдем радиус основания конуса:

\[ C = 2\pi r \]

\[ 13 = 2\pi r \]

Разделим обе части уравнения на \(2\pi\) и найдем значение \(r\):

\[ r = \frac{13}{2\pi} \]

Теперь нам нужно найти высоту конуса \( h \). У нас уже есть высота конуса, которая равна 5 см.

Сумма радиуса основания и высоты образует наклонную сторону конуса, которая является образующей конуса. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, высотой и образующей, можем записать:

\[ r^2 + h^2 = l^2 \]

\[ (\frac{13}{2\pi})^2 + 5^2 = l^2 \]

Вычислим образующую \( l \):

\[ (\frac{13}{2\pi})^2 + 5^2 = l^2 \]

\[ \frac{169}{4\pi^2} + 25 = l^2 \]

\[ l^2 = \frac{169}{4\pi^2} + 25 \]

\[ l^2 = \frac{169 + 100\pi^2}{4\pi^2} \]

Теперь, чтобы найти радиус основания конуса, давайте воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, образующей и высотой:

\[ l^2 = r^2 + h^2 \]

\[ \frac{169 + 100\pi^2}{4\pi^2} = r^2 + 5^2 \]

\[ r^2 = \frac{169 + 100\pi^2}{4\pi^2} - 25 \]

\[ r^2 = \frac{169 + 100\pi^2 - 100\pi^2}{4\pi^2} \]

\[ r^2 = \frac{169}{4\pi^2} \]

Таким образом, радиус основания конуса равен:

\[ r = \frac{\sqrt{169}}{2\pi} \]

\[ r = \frac{13}{2\pi} \approx 2.068 \,\text{см} \]