Найдите длину стороны ромба, если его меньшая диагональ равна и высота ромба проведена из вершины его тупого угла

Звездопад

47

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть \(ABCD\) - ромб, где \(AC\) - его меньшая диагональ, а \(BE\) - высота, проведенная из вершины \(B\) (тупого угла). По условию, сторона ромба делится пополам, то есть отрезок \(BC\) равен отрезку \(CD\).

Давайте обозначим длину стороны ромба как \(x\). Тогда, поскольку сторона делится пополам, длины отрезков \(BC\) и \(CD\) будут равны \(\frac{x}{2}\).

Также, мы знаем, что высота ромба, проведенная из вершины \(B\), равна его меньшей диагонали \(AC\). Пусть длина высоты \(BE\) равна \(y\).

Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику \(ABE\). У нас есть прямоугольный треугольник, в котором известны катеты \(y\) и \(\frac{x}{2}\), и нам нужно найти гипотенузу (длину стороны ромба).

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Применяя эту теорему, получаем:

\[AB^2 = AE^2 + BE^2\]

Заменяем известные значения:

\[x^2 = y^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение \(x\). Для этого выполним несколько шагов.

\[x^2 = y^2 + \frac{x^2}{4}\]

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[4x^2 = 4y^2 + x^2\]

Раскроем скобки:

\[4x^2 = x^2 + 4y^2\]

Вычтем \(x^2\) из обеих частей уравнения:

\[3x^2 = 4y^2\]

Теперь делим обе части уравнения на 3:

\[x^2 = \frac{4y^2}{3}\]

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[x = \sqrt{\frac{4y^2}{3}}\]

Упростим выражение:

\[x = \frac{2y}{\sqrt{3}}\]

Итак, мы нашли длину стороны ромба. Ответ: \(x = \frac{2y}{\sqrt{3}}\).

Подставим значение \(y\) (длина высоты ромба \(BE\)), которое должно быть равно меньшей диагонали \(AC\), для получения окончательного ответа.