Найдите длины катетов прямоугольного треугольника, при которых сумма катетов равна 20 см, чтобы максимизировать площадь

Сквозь_Космос

11

Чтобы найти длины катетов прямоугольного треугольника, при которых сумма катетов равна 20 см и максимизировать площадь, мы можем использовать алгоритм метода дифференциального исчисления.

Обозначим длины катетов как \(x\) и \(y\), где \(x < y\). По условию задачи, сумма катетов равна 20 см, поэтому у нас есть уравнение \(x + y = 20\).

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через длины его катетов по формуле \(S = \frac{1}{2}xy\). Мы хотим найти такие значения катетов \(x\) и \(y\), при которых площадь будет максимальной.

Теперь мы можем приступить к оптимизации площади. Для этого воспользуемся методом дифференциального исчисления и найдем максимум функции площади от одной переменной (например, \(x\)), используя уравнение \(x + y = 20\) для связи между переменными \(x\) и \(y\).

Выражаем \(y\) через \(x\): \(y = 20 - x\).

Теперь подставим это значение в формулу площади \(S = \frac{1}{2}xy\): \(S = \frac{1}{2}x(20 - x)\).

Для поиска максимума найдем производную функции площади \(S\) по переменной \(x\): \(S" = \frac{dS}{dx} = \frac{1}{2}(20 - 2x)\).

Решим уравнение \(S" = 0\) для нахождения стационарной точки функции:

\[\frac{1}{2}(20 - 2x) = 0\]

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

\[10 - x = 0\]

\[x = 10\]

Теперь найдем вторую производную \(S""\) и проверим, является ли найденная точка экстремума точкой максимума:

\[S"" = \frac{d^2S}{dx^2} = -2\]

Поскольку \(S"" < 0\), точка \(x = 10\) является точкой максимума площади \(S\).

Таким образом, при условии, что сумма катетов равна 20 см, длины катетов для максимальной площади составляют \(x = 10\) см и \(y = 20 - x = 10\) см.

Максимальная площадь треугольника будет равна \(S = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50\) квадратных сантиметров.