Найдите длины отрезков EG, GF и EF в треугольнике PQR, если известны стороны PR = 1/2, PQ = 10 и QR = 9. Воспользуйтесь

Yabeda

54

Чтобы найти длины отрезков EG, GF и EF в треугольнике PQR, нам понадобится использовать теорему косинусов. Давайте начнем с решения.

Согласно теореме косинусов, мы можем выразить косинус угла PQR как отношение квадрата стороны QR к сумме квадратов сторон PR и PQ.

Таким образом, у нас есть:
\[\cos(\angle PQR) = \frac{{QR^2 + PR^2 - PQ^2}}{{2 \cdot QR \cdot PR}}\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[\cos(\angle PQR) = \frac{{9^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 10^2}}{{2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2}}}\]

Продолжая вычисления, получаем:
\[\cos(\angle PQR) = \frac{{81 + \frac{1}{4} - 100}}{{9}}\]
\[\cos(\angle PQR) = \frac{{81 + \frac{1}{4} - \frac{400}{4}}}{{9}}\]
\[\cos(\angle PQR) = \frac{{\frac{325}{4}}}{{9}}\]
\[\cos(\angle PQR) = \frac{{325}}{{36}}\]

Теперь, чтобы найти угол PQR, мы можем использовать обратный косинус (арккосинус) функцию:
\[\angle PQR = \cos^{-1}\left(\frac{{325}}{{36}}\right)\]

Используя калькулятор, вычисляем:
\[\angle PQR \approx 25.86^\circ\]

Теперь, используя найденный угол, мы можем найти длины отрезков EG, GF и EF.

Мы знаем, что синус угла равен отношению противоположной стороны к гипотенузе. Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

\[\sin(\angle PQR) = \frac{{GF}}{{PQ}}\]
\[\sin(\angle PRQ) = \frac{{EG}}{{PQ}}\]
\[\sin(\angle QRP) = \frac{{EF}}{{PQ}}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\sin(25.86^\circ) = \frac{{GF}}{{10}}\]
\[\sin(180^\circ - 25.86^\circ) = \frac{{EG}}{{10}}\]
\[\sin(180^\circ - 25.86^\circ) = \frac{{EF}}{{10}}\]

Вычисляя синусы, получаем:

\[\frac{{GF}}{{10}} = \sin(25.86^\circ)\]
\[\frac{{EG}}{{10}} = \sin(154.14^\circ)\]
\[\frac{{EF}}{{10}} = \sin(154.14^\circ)\]

Используя калькулятор, получаем:

\[\frac{{GF}}{{10}} \approx 0.428\]
\[\frac{{EG}}{{10}} \approx 0.913\]
\[\frac{{EF}}{{10}} \approx 0.913\]

И, наконец, умножаем обе стороны на 10:

\[GF \approx 0.428 \cdot 10 \approx 4.28\]
\[EG \approx 0.913 \cdot 10 \approx 9.13\]
\[EF \approx 0.913 \cdot 10 \approx 9.13\]

Таким образом, длины отрезков EG, GF и EF в треугольнике PQR равны приближенно 9.13, 4.28 и 9.13 соответственно.