Найдите два натуральных числа, разность которых составляет 5, а разность кубов равна 3088. В ответе запишите сумму этих

Григорий

33

Давайте начнем с формулировки задачи. Мы ищем два натуральных числа, разность которых составляет 5. Пусть первое число будет обозначено как \(x\), а второе число - как \(y\).

Тогда, согласно условию, мы можем записать уравнение:

\[x - y = 5 \quad \text{(уравнение 1)}\]

Также, разность кубов данных чисел равна 3088:

\[x^3 - y^3 = 3088 \quad \text{(уравнение 2)}\]

Разложим разность кубов на множители, используя формулу разности кубов:

\[x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)\]

В нашем случае это примет вид:

\[3088 = 5(x^2 + xy + y^2)\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений (уравнение 1 и уравнение 2). Мы можем использовать метод подстановки или метод исключения, чтобы решить эту систему. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Из уравнения 1 легко можно выразить одну переменную через другую. Пусть \(y = x - 5\). Теперь мы можем подставить это выражение во второе уравнение:

\[3088 = 5(x^2 + x(x - 5) + (x - 5)^2)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[3088 = 5(x^2 + x^2 - 5x + x^2 - 10x + 25)\]

\[3088 = 5(3x^2 - 15x + 25)\]

Распределение множителя 5:

\[3088 = 15x^2 - 75x + 125\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Приведем его к каноническому виду:

\[15x^2 - 75x + 125 - 3088 = 0\]

\[15x^2 - 75x - 2963 = 0\]

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать квадратное уравнение или формулу дискриминанта. Найдем дискриминант по формуле:

\[D = b^2 - 4ac = (-75)^2 - 4(15)(-2963) = 5625 + 177240 = 182865\]

Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[x = \frac{75 \pm \sqrt{182865}}{30}\]

Другими словами, у нас есть два возможных значения для \(x\):

\[x_1 = \frac{75 + \sqrt{182865}}{30}\]
\[x_2 = \frac{75 - \sqrt{182865}}{30}\]

Вычислим эти значения с помощью калькулятора:

\(x_1 \approx 16.78\)

\(x_2 \approx 2.55\)

Теперь, чтобы найти \(y\), мы можем подставить найденные значения \(x\) в любое из наших начальных уравнений (уравнение 1). Давайте возьмем первое значение для \(x\), а затем найдем соответствующее значение для \(y\):

\[y = x - 5 = 16.78 - 5 \approx 11.78\]

Так как мы ищем натуральные числа, округлим значения до ближайших целых чисел:

\(x = 17\)

\(y = 12\)

Теперь, чтобы найти сумму этих чисел, просто сложим их:

\[x + y = 17 + 12 = 29\]

Итак, ответом на задачу является число 29.

ОТВЕТ: Сумма двух чисел равна 29.