Каков диапазон значений функции y=6sin2x+8cos2x?

Igor

64

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать тригонометрические тождества и свойства основных тригонометрических функций.

Итак, у нас дана функция: \(y = 6\sin^2(x) + 8\cos^2(x)\)

Начнем с тождества: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Подставим это тождество в нашу исходную функцию:

\(y = 6\sin^2(x) + 8(1 - \sin^2(x))\)

Раскроем скобки:

\(y = 6\sin^2(x) + 8 - 8\sin^2(x)\)

Объединим подобные слагаемые:

\(y = 8 - 2\sin^2(x)\)

Теперь давайте выразим \(\sin^2(x)\) через \(\cos^2(x)\), с помощью тождества: \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\):

\(y = 8 - 2(1 - \cos^2(x))\)

Раскроем скобки:

\(y = 8 - 2 + 2\cos^2(x)\)

Упростим выражение:

\(y = 6 + 2\cos^2(x)\)

Для того чтобы определить диапазон значений этой функции, нам нужно знать диапазон значений функции \(\cos^2(x)\). Мы можем заметить, что для любого значения угла \(x\), \(\cos^2(x)\) всегда будет находиться в интервале от 0 до 1 включительно, так как \(\cos^2(x)\) представляет квадрат косинуса угла \(x\), который всегда находится между 0 и 1.

Таким образом, диапазон значений функции \(y = 6 + 2\cos^2(x)\) будет от 6 до 8 включительно.

Ответ: Диапазон значений функции \(y = 6\sin^2(x) + 8\cos^2(x)\) равен от 6 до 8 включительно.