Каков диапазон значений функции y=6sin2x+8cos2x?

Igor

64

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать тригонометрические тождества и свойства основных тригонометрических функций.

Итак, у нас дана функция: $y=6{\sin }^2(x)+8{\cos }^2(x)$

Начнем с тождества: ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$. Подставим это тождество в нашу исходную функцию:

$y=6{\sin }^2(x)+8(1-{\sin }^2(x))$

Раскроем скобки:

$y=6{\sin }^2(x)+8-8{\sin }^2(x)$

Объединим подобные слагаемые:

$y=8-2{\sin }^2(x)$

Теперь давайте выразим ${\sin }^2(x)$ через ${\cos }^2(x)$, с помощью тождества: ${\sin }^2(x)=1-{\cos }^2(x)$:

$y=8-2(1-{\cos }^2(x))$

Раскроем скобки:

$y=8-2+2{\cos }^2(x)$

Упростим выражение:

$y=6+2{\cos }^2(x)$

Для того чтобы определить диапазон значений этой функции, нам нужно знать диапазон значений функции ${\cos }^2(x)$. Мы можем заметить, что для любого значения угла $x$, ${\cos }^2(x)$ всегда будет находиться в интервале от 0 до 1 включительно, так как ${\cos }^2(x)$ представляет квадрат косинуса угла $x$, который всегда находится между 0 и 1.

Таким образом, диапазон значений функции $y=6+2{\cos }^2(x)$ будет от 6 до 8 включительно.

Ответ: Диапазон значений функции $y=6{\sin }^2(x)+8{\cos }^2(x)$ равен от 6 до 8 включительно.