Найдите нужную начальную скорость v0, чтобы время свободного падения с высоты 47 метров было одинаковым как на Земле

  • 43
Найдите нужную начальную скорость v0, чтобы время свободного падения с высоты 47 метров было одинаковым как на Земле, так и на Марсе. Ускорение свободного падения на Земле составляет 9,8 м/с², а на Марсе – 3,8 м/с².
Zagadochnyy_Paren
5
Дано: Высота падения \( h = 47 \) метров. Ускорение свободного падения на Земле \( g_{\text{З}} = 9.8 \) м/с². Ускорение свободного падения на Марсе \( g_{\text{М}} = 3.8 \) м/с².

Мы хотим найти начальную скорость \( v_0 \), чтобы время падения с высоты было одинаковым на Земле и на Марсе.

Для этого мы будем использовать формулу для времени падения без учета сопротивления воздуха:

\[
t = \sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

Где \( t \) - время падения, \( h \) - высота падения, \( g \) - ускорение свободного падения.

На Земле:

\[
t_{\text{З}} = \sqrt{\frac{2h}{g_{\text{З}}}}
\]

На Марсе:

\[
t_{\text{М}} = \sqrt{\frac{2h}{g_{\text{М}}}}
\]

Так как мы хотим, чтобы время падения было одинаковым, приравниваем \( t_{\text{З}} \) и \( t_{\text{М}} \):

\[
\sqrt{\frac{2h}{g_{\text{З}}}} = \sqrt{\frac{2h}{g_{\text{М}}}}
\]

Поднимаем обе части уравнения в квадрат:

\[
\frac{2h}{g_{\text{З}}} = \frac{2h}{g_{\text{М}}}
\]

Сокращаем общие части:

\[
\frac{1}{g_{\text{З}}} = \frac{1}{g_{\text{М}}}
\]

Подставляем значения ускорений свободного падения:

\[
\frac{1}{9.8} = \frac{1}{3.8}
\]

Теперь найдем \( v_0 \) с использованием формулы времени падения:

\[
t_{\text{З}} = \sqrt{\frac{2h}{g_{\text{З}}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 47}{9.8}} \approx 3.03 \text{ сек}
\]

\[
t_{\text{М}} = \sqrt{\frac{2h}{g_{\text{М}}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 47}{3.8}} \approx 5.08 \text{ сек}
\]

Таким образом, чтобы время падения было одинаковым на Земле и на Марсе, нужно, чтобы начальная скорость \( v_0 \) была равна \( \frac{2h}{t_{\text{З}}} \) и \( \frac{2h}{t_{\text{М}}} \) соответственно.

Подставляем значения:

\[
v_{0\text{З}} = \frac{2 \cdot 47}{3.03} \approx 31 \, \text{м/с}
\]

\[
v_{0\text{М}} = \frac{2 \cdot 47}{5.08} \approx 18.50 \, \text{м/с}
\]

Таким образом, чтобы время падения с высоты 47 метров было одинаковым как на Земле, так и на Марсе, нужно, чтобы начальная скорость на Земле составляла около 31 м/с, а на Марсе около 18.50 м/с.