Найдите объем фигуры, полученной вращением равнобедренного треугольника вокруг оси l, проходящей через вершину

Liya

1

Хорошо, чтобы найти объем фигуры, полученной вращением равнобедренного треугольника вокруг оси l, нужно воспользоваться методом цилиндров разрезом. Давайте разобьем эту задачу на несколько шагов для более понятного решения.

Шаг 1: Найдите высоту треугольника.
Высота равнобедренного треугольника - это отрезок, проведенный из вершины угла α, перпендикулярно основанию треугольника. Так как треугольник равнобедренный, его высота также является медианой и делит основание на две равные части.

Так как длина боковой стороны равна а, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника:

\[h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]
\[h = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}\]
\[h = \sqrt{\frac{4a^2 - a^2}{4}}\]
\[h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\]
\[h = \frac{a}{2}\sqrt{3}\]

Таким образом, высота треугольника равна \(\frac{a}{2}\sqrt{3}\).

Шаг 2: Найдите площадь поперечного сечения.
Площадь поперечного сечения - это площадь круга, образованного вращением основания треугольника вокруг оси l.

Площадь круга можно найти, используя формулу:

\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\]

Для равнобедренного треугольника, высота является радиусом круга. Поэтому, площадь поперечного сечения будет:

\[S_{\text{поперечного сечения}} = \pi \left(\frac{a}{2}\sqrt{3}\right)^2\]
\[S_{\text{поперечного сечения}} = \pi \frac{a^2 \cdot 3}{4}\]
\[S_{\text{поперечного сечения}} = \frac{3\pi a^2}{4}\]

Шаг 3: Найдите объем фигуры.
Объем фигуры можно найти, умножив площадь поперечного сечения на высоту треугольника:

\[V = S_{\text{поперечного сечения}} \times h\]
\[V = \frac{3\pi a^2}{4} \times \frac{a}{2}\sqrt{3}\]
\[V = \frac{3\pi a^3}{8} \sqrt{3}\]

Таким образом, объем фигуры, полученной вращением равнобедренного треугольника вокруг оси l, будет равен \(\frac{3\pi a^3}{8} \sqrt{3}\).