Найдите первый член арифметической прогрессии, если известны её второй и четвёртый члены

Evgenyevich

4

Хорошо! Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулу для \(n\)-го члена арифметической прогрессии. Формула для \(n\)-го члена прогрессии имеет вид:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Где:
\(a_n\) - \(n\)-й член арифметической прогрессии,
\(a_1\) - первый член арифметической прогрессии,
\(n\) - порядковый номер члена арифметической прогрессии,
\(d\) - разность прогрессии.

Нам известны второй и четвёртый члены прогрессии. Обозначим их как \(a_2\) и \(a_4\) соответственно. Подставим эти значения в формулу и решим её.

Для второго члена прогрессии:
\(a_2 = a_1 + (2 - 1) \cdot d = a_1 + d\)

Для четвёртого члена прогрессии:
\(a_4 = a_1 + (4 - 1) \cdot d = a_1 + 3d\)

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(d\)). Решим эту систему уравнений.

Вычтем первое уравнение из второго:
\(a_4 - a_2 = (a_1 + 3d) - (a_1 + d)\)

После сокращений получаем:
\(2d = a_4 - a_2\)
\[d = \frac{{a_4 - a_2}}{2}\]

Теперь, найдём первый член прогрессии, подставив значение \(d\) в любое из двух уравнений:

\[a_2 = a_1 + d\]
\[a_1 = a_2 - d\]
\[a_1 = a_2 - \frac{{a_4 - a_2}}{2}\]
\[a_1 = \frac{{2a_2 - (a_4 - a_2)}}{2}\]
\[a_1 = \frac{{2a_2 + a_2 - a_4}}{2}\]
\[a_1 = \frac{{3a_2 - a_4}}{2}\]

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен \(\frac{{3a_2 - a_4}}{2}\).

Я надеюсь, что ответ был понятен для вас. Если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!