Найдите площадь фигуры, которая закрашена на диаграмме, если R=3 и угол ВОА равен 120°

Лунный_Ренегат

34

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры на данной диаграмме, мы можем разбить ее на две части: сектор и треугольник. Рассмотрим каждую часть по отдельности и затем сложим их площади.

Сначала посчитаем площадь сектора. Площадь сектора вычисляется по формуле:

\[ S_{сектора} = \frac{{\theta}}{360} \times \pi \times R^2 \]

где \( \theta \) - центральный угол сектора, а \( R \) - радиус окружности.

В данной задаче у нас задан радиус \( R = 3 \) и центральный угол сектора \( \angle ВОА = 120° \).

Подставим значения в формулу:

\[ S_{сектора} = \frac{{120}}{360} \times \pi \times 3^2 \]

Упростим выражение:

\[ S_{сектора} = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \]

\[ S_{сектора} = \pi \times 3 \]

\[ S_{сектора} = 3\pi \]

Теперь рассмотрим треугольник. Внутренний угол треугольника \( \angle ВОА = 120° \). Так как сумма углов треугольника равна 180°, то оставшийся угол можно найти, вычтя угол ВОА из 180°:

\[ \angle АОВ = 180° - 120° = 60° \]

Заметим, что сторона треугольника формирует радиус окружности, поэтому данная сторона также равна 3 единицам.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой:

\[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\angle) \]

где \( a \) и \( b \) - стороны треугольника, а \( \angle \) - угол между сторонами.

Подставим значения в формулу:

\[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin(60°) \]

Упростим выражение:

\[ S_{треугольника} = \frac{9}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ S_{треугольника} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \]

Теперь, чтобы найти площадь всей фигуры, просто сложим площадь сектора и площадь треугольника:

\[ S_{фигуры} = S_{сектора} + S_{треугольника} \]

\[ S_{фигуры} = 3\pi + \frac{9\sqrt{3}}{4} \]

Таким образом, площадь закрашенной фигуры на диаграмме равна \( 3\pi + \frac{9\sqrt{3}}{4} \) единиц площади.