Найдите площадь фигуры, обозначенной заштрихованным участком на рисунке, если длина отрезка АС равна 13 см, а длина

Yaroslava

29

Для решения данной задачи мы можем использовать разделение фигуры на два треугольника и прямоугольник.

1. Рассмотрим первый треугольник ABC. У нас уже есть две известные стороны: отрезок АС длиной 13 см и отрезок ВС длиной 12 см. Остается найти третью сторону треугольника - отрезок АВ.

2. Из известных сторон исходного треугольника мы можем найти отрезок АВ, применив теорему Пифагора:
\[AB^2 = AC^2 - BC^2\]
\[AB^2 = 13^2 - 12^2\]
\[AB^2 = 169 - 144\]
\[AB^2 = 25\]
\[AB = \sqrt{25} = 5\]

3. Теперь мы знаем все три стороны треугольника ABC и можем найти его площадь с помощью формулы Герона:
\[S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}\]
где p - полупериметр треугольника, который можно найти как сумму всех сторон, деленную пополам:
\[p = \frac{AB + AC + BC}{2}\]
\[p = \frac{5 + 13 + 12}{2}\]
\[p = \frac{30}{2} = 15\]
Подставляем значения в формулу:
\[S_{ABC} = \sqrt{15(15-5)(15-13)(15-12)}\]
\[S_{ABC} = \sqrt{15 \cdot 10 \cdot 2 \cdot 3}\]
\[S_{ABC} = \sqrt{900} = 30\]

4. Рассмотрим второй треугольник BCD. У нас изначально нет информации о длинах его сторон, но мы можем увидеть, что сторона BC равна 12 см, а сторона АВ - 5 см. Мы можем использовать подобие треугольников ABC и BCD, так как у них угол ABC общий и угол BCD является прямым (по условию).

5. По свойству подобных треугольников соотношение длин сторон треугольников ABC и BCD должно быть одинаковым. Таким образом, мы можем записать:
\[\frac{BC}{AB} = \frac{BD}{AC}\]
\[\frac{12}{5} = \frac{BD}{13}\]
Необходимо найти длину отрезка BD. Для этого, умножим обе части равенства на 13:
\[12 \cdot 13 = 5 \cdot BD\]
\[BD = \frac{12 \cdot 13}{5} = \frac{156}{5} = 31.2\]

6. Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника BCD (BC = 12, BD = 31.2 и CD = 13). Мы можем найти площадь этого треугольника, используя формулу Герона:
\[S_{BCD} = \sqrt{p(p-BC)(p-BD)(p-CD)}\]
где p - полупериметр треугольника:
\[p = \frac{BC + BD + CD}{2}\]
\[p = \frac{12 + 31.2 + 13}{2}\]
\[p = \frac{56.2}{2} = 28.1\]
Подставляем значения в формулу:
\[S_{BCD} = \sqrt{28.1(28.1-12)(28.1-31.2)(28.1-13)}\]
\[S_{BCD} = \sqrt{28.1 \cdot 16.1 \cdot -3.1 \cdot 15.1}\]
\[S_{BCD} = \sqrt{177291.511}\]
\[S_{BCD} \approx 420.89\]

7. Таким образом, площадь фигуры обозначенной заштрихованным участком на рисунке равна сумме площадей треугольников ABC и BCD:
\[S_{фигуры} = S_{ABC} + S_{BCD}\]
\[S_{фигуры} = 30 + 420.89\]
\[S_{фигуры} \approx 450.89\]

Ответ: Площадь фигуры, обозначенной заштрихованным участком на рисунке, составляет около 450.89 квадратных сантиметров.