Найдите площадь полной поверхности прямой призмы с ромбовидным основанием, у которого угол между сторонами равен 120°

Utkonos_1917

40

Поставим задачу, чтобы было понятнее:

У нас есть прямая призма с ромбовидным основанием. Угол между сторонами ромба равен 120°, а одна из диагоналей ромба равна 6 см. Большая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом.

Чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, нужно сначала найти площадь одной боковой поверхности, затем площадь основания, и, наконец, сложить эти две площади.

Пошаговое решение:

1. Найдем площадь одной боковой поверхности прямой призмы.
- По определению, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
- У нас есть ромбовидное основание, и угол между его сторонами равен 120°. Такой ромб можно разбить на два равнобедренных треугольника.
- Для нахождения периметра ромба найдем длину одной стороны.
- Из треугольника со сторонами 6 см, 6 см и углом 120° можно легко найти длину двух других сторон.

По формуле косинуса:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

Где:
- \(c\) - длина третьей стороны треугольника,
- \(a\) и \(b\) - длины двух известных сторон треугольника,
- \(C\) - величина угла между этими двумя сторонами.

Подставим значения:
\[c^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) \]
\[c^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-0.5) = 72 + 72 = 144 \]
\[c = \sqrt{144} = 12 \text{ см}\]

- Теперь, когда мы знаем длину одной стороны ромба, можем найти его периметр.
- Периметр ромба равен четырем умноженным на длину стороны: \(P = 4 \cdot 12 = 48 \text{ см}\).
- Таким образом, площадь одной боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, \(S_{\text{боковая}} = P \cdot H\).

2. Найдем площадь основания ромбовидной призмы.
- Площадь основания ромба равна произведению длин диагоналей, деленному на 2: \(S_{\text{основание}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\).
- У нас известна одна из диагоналей, \(d_1 = 6 \text{ см}\).
- Остается найти вторую диагональ. Для этого воспользуемся формулой синуса для треугольника со сторонами 6 см, 6 см и углом 120°.

Согласно формуле синуса:
\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Где:
- \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны треугольника,
- \(A\), \(B\) и \(C\) - противолежащие им углы.

Подставим значения:
\[\frac{6}{\sin(120^\circ)} = \frac{6}{\sin(B)}\]
\[\sin(B) = \frac{6}{\sin(120^\circ)} \approx 5.196 \text{ (безразмерная величина)}\]

- Для нахождения угла \(B\) найдем арксинус от полученного значения:
\[B = \arcsin(5.196) \approx 75.53^\circ\]

- Теперь мы можем найти вторую диагональ ромба. Воспользуемся формулой синуса:
\[\frac{6}{\sin(120^\circ)} = \frac{d_2}{\sin(B)}\]
\[d_2 = \frac{6 \cdot \sin(B)}{\sin(120^\circ)} = \frac{6 \cdot 5.196}{\sin(120^\circ)} \approx 10.392 \text{ см}\]

- Подставим значения в формулу для площади основания:
\[S_{\text{основание}} = \frac{6 \cdot 10.392}{2} = 31.176 \text{ см}^2\]

3. Найдем площадь полной поверхности прямой призмы.
- Площадь полной поверхности прямой призмы равна сумме площади двух оснований и площади всех боковых поверхностей: \(S_{\text{полная}} = 2 \cdot S_{\text{основание}} + S_{\text{боковая}}\).
- Подставим известные значения:
\[S_{\text{полная}} = 2 \cdot 31.176 + (48 \cdot H) \text{ см}^2\]

В конце можно рассчитать численное значение площади полной поверхности призмы, если известна высота призмы \(H\). Но поскольку она в нашей задаче не указана, решение можно оставить в виде формулы.