Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, у которой основание является прямоугольным треугольником

Barsik

26

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади поверхности прямой треугольной призмы.

Площадь полной поверхности прямой треугольной призмы вычисляется по формуле:

\[S = S_{осн} + 2 \cdot S_{бок}\]

где \(S\) - площадь полной поверхности, \(S_{осн}\) - площадь основания, \(S_{бок}\) - площадь боковой поверхности.

Для начала, найдем площадь основания. Основание данной призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Площадь прямоугольного треугольника можно найти с помощью формулы:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Где \(a\) и \(b\) - длины катетов прямоугольного треугольника.

Подставив значения в формулу, получим:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \, \text{см} \cdot 4 \, \text{см} = 6 \, \text{см}^2\]

Теперь найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из двух треугольников, где боковое ребро является гипотенузой. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

\[S_{тр} = \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(p\) - полупериметр треугольника.

Так как основание прямоугольного треугольника является гипотенузой, то одна из сторон треугольника равна боковому ребру, а другая сторона равна половине основания призмы.

Таким образом:

\[a = \text{боковое ребро} = \text{3 см}\]
\[b = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{см} = 2 \, \text{см}\]
\[c = \text{основание} = 4 \, \text{см}\]

Теперь найдем полупериметр треугольника:

\[p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3 \, \text{см} + 2 \, \text{см} + 4 \, \text{см}}{2} = 4.5 \, \text{см}\]

Подставляя значения в формулу Герона, получим площадь треугольника:

\[S_{тр} = \sqrt{4.5 \, \text{см} \cdot (4.5 \, \text{см} - 3 \, \text{см}) \cdot (4.5 \, \text{см} - 2 \, \text{см}) \cdot (4.5 \, \text{см} - 4 \, \text{см})} = 3.375 \, \text{см}^2\]

Так как боковая поверхность состоит из двух таких треугольников, умножим на 2:

\[S_{бок} = 2 \times S_{тр} = 2 \times 3.375 \, \text{см}^2 = 6.75 \, \text{см}^2\]

Теперь, найдем площадь полной поверхности, сложив площадь основания и удвоенную площадь боковой поверхности:

\[S = S_{осн} + 2 \cdot S_{бок} = 6 \, \text{см}^2 + 2 \times 6.75 \, \text{см}^2 = 19.5 \, \text{см}^2\]

Итак, площадь полной поверхности данной прямой треугольной призмы равна 19.5 квадратных сантиметров.