Найдите площадь поперечного сечения, проведенного через центр грани DCB правильного тетраэдра, параллельно грани

Снегурочка_1283

57

У нас есть правильный тетраэдр, грани которого обозначены как ACD, BCD, ADC и BAC, а длина ребра тетраэдра равна 8 см. Наша задача - найти площадь поперечного сечения, проведенного через центр грани DCB и параллельного грани ACD.

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство правильного тетраэдра, которое гласит, что плоскость, проходящая через центр грани и параллельная другой грани, делит тетраэдр на две пирамиды равного объема.

Объем правильного тетраэдра можно выразить следующей формулой:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\]

где \(V\) - объем тетраэдра, \(S\) - площадь основания тетраэдра, \(h\) - высота тетраэдра.

Так как нас интересует площадь поперечного сечения, а не объем, нам нужно найти высоту тетраэдра. Зная, что площадь основания тетраэдра равна площади треугольника ACD, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\theta}\]

где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, а \(\theta\) - угол между этими сторонами.

В треугольнике ACD у нас есть две известные стороны: сторона \(AC\) равна 8 см, так как это длина ребра тетраэдра, и сторона \(AD\) равна \(AC/2\), так как точка \(D\) - это середина стороны \(AC\). Мы также знаем, что угол между сторонами \(AC\) и \(AD\) составляет 90 градусов, так как грань ACD - прямоугольный треугольник.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника ACD:

\[S_{\text{треугольника ACD}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{\theta}\]

\[S_{\text{треугольника ACD}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{2} \cdot \sin{90^\circ}\]

\[S_{\text{треугольника ACD}} = 16 \cdot 4 \cdot 1\]

\[S_{\text{треугольника ACD}} = 64\]

Таким образом, площадь поперечного сечения, проведенного через центр грани DCB, равна 64 квадратных сантиметра.