Каковы длины сторон треугольника ABC, если сторона ВС равна 25 см, сторона АС равна 20√2 см и угол А равен 45 градусов?

Сергей_5799

31

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть треугольник ABC, где сторона ВС равна 25 см, сторона АС равна 20√2 см, а угол А равен 45 градусов.

Для начала, рассмотрим треугольник ABC. Мы можем применить теорему косинусов, чтобы найти длины оставшихся сторон.

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot \cos(C)\],

где c - длина стороны противолежащей углу C, a и b - длины оставшихся сторон, C - мера угла C.

В нашем случае, сторона ВС является противолежащей углу А, а сторона АC является противолежащей углу B.

Давайте найдем длину стороны AB, что является противолежащей углу C.

Используем теорему косинусов:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(A)\],

где AB - длина стороны, AC и BC - длины оставшихся сторон, А - мера угла А.

Подставим известные значения:

\[AB^2 = (20\sqrt{2})^2 + 25^2 - 2 \cdot 20\sqrt{2} \cdot 25 \cdot \cos(45^\circ)\].

Теперь вычислим значение выражения:

\[AB^2 = 800 + 625 - 1000\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\].

После упрощения получим:

\[AB^2 = 1425 - 1000 = 425\].

Чтобы найти значение AB, возьмем квадратный корень на обеих сторонах уравнения:

\[AB = \sqrt{425}\].

Упростим это выражение:

\[AB = \sqrt{25 \cdot 17}\].

Разлагая 17 на простые множители, получим:

\[AB = \sqrt{25 \cdot 17} = \sqrt{5^2 \cdot 17} = 5\sqrt{17}\].

Таким образом, длина стороны AB равна \(5\sqrt{17}\) см.

Теперь, когда мы нашли все длины сторон, можно сказать, что длина стороны ВС равна 25 см, длина стороны АС равна \(20\sqrt{2}\) см и длина стороны AB равна \(5\sqrt{17}\) см.