Каковы длины сторон треугольника ABC, если сторона ВС равна 25 см, сторона АС равна 20√2 см и угол А равен 45 градусов?

Сергей_5799

31

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть треугольник ABC, где сторона ВС равна 25 см, сторона АС равна 20√2 см, а угол А равен 45 градусов.

Для начала, рассмотрим треугольник ABC. Мы можем применить теорему косинусов, чтобы найти длины оставшихся сторон.

Теорема косинусов гласит:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$,

где c - длина стороны противолежащей углу C, a и b - длины оставшихся сторон, C - мера угла C.

В нашем случае, сторона ВС является противолежащей углу А, а сторона АC является противолежащей углу B.

Давайте найдем длину стороны AB, что является противолежащей углу C.

Используем теорему косинусов:

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos (A)$$,

где AB - длина стороны, AC и BC - длины оставшихся сторон, А - мера угла А.

Подставим известные значения:

$$A{B}^2=(20\sqrt{2}{)}^2+{25}^2-2\cdot 20\sqrt{2}\cdot 25\cdot \cos ({45}^{\circ })$$.

Теперь вычислим значение выражения:

$$A{B}^2=800+625-1000\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

После упрощения получим:

$$A{B}^2=1425-1000=425$$.

Чтобы найти значение AB, возьмем квадратный корень на обеих сторонах уравнения:

$$AB=\sqrt{425}$$.

Упростим это выражение:

$$AB=\sqrt{25\cdot 17}$$.

Разлагая 17 на простые множители, получим:

$$AB=\sqrt{25\cdot 17}=\sqrt{5^2\cdot 17}=5\sqrt{17}$$.

Таким образом, длина стороны AB равна $5\sqrt{17}$ см.

Теперь, когда мы нашли все длины сторон, можно сказать, что длина стороны ВС равна 25 см, длина стороны АС равна $20\sqrt{2}$ см и длина стороны AB равна $5\sqrt{17}$ см.