Найдите площадь поверхности основания цилиндра, высота которого составляет 3, а диагональ осевого сечения цилиндра

Lisichka123

14

Для начала рассмотрим, что такое осевое сечение цилиндра. Осевое сечение - это сечение, которое пересекает оба основания цилиндра перпендикулярно их плоскости, то есть пересекает основание по диагонали.

В данной задаче у нас дана высота цилиндра, которая равна 3, и диагональ осевого сечения. По определению цилиндра, поверхность его основания является кругом.

Давайте посмотрим на сечение цилиндра и попробуем найти площадь поверхности его основания.

Предположим, что радиус основания цилиндра равен r. Тогда диагональ осевого сечения цилиндра будет равна диаметру основания, то есть 2r.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и диаметром, мы можем записать следующее:

\[r^2 + 3^2 = (2r)^2\]

Выполняя операции:

\[r^2 + 9 = 4r^2\]

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

\[0 = 3r^2 - r^2 - 9\]

\[0 = 2r^2 - 9\]

Теперь найдем значение радиуса \(r\):

\[2r^2 = 9\]

\[r^2 = \frac{9}{2}\]

\[r = \sqrt{\frac{9}{2}}\]

Теперь, когда у нас есть значение радиуса \(r\), мы можем найти площадь поверхности основания цилиндра. Площадь поверхности основания цилиндра вычисляется по формуле \(S_{\text{осн}} = \pi r^2\).

Подставляя значения, получаем:

\[S_{\text{осн}} = \pi \cdot \left(\sqrt{\frac{9}{2}}\right)^2\]

\[S_{\text{осн}} = \pi \cdot \frac{9}{2}\]

Таким образом, площадь поверхности основания цилиндра равна \(\frac{9}{2}\pi\) или примерно 14,14 (с точностью до сотых).

Ответ: Площадь поверхности основания цилиндра равна \(\frac{9}{2} \pi\) или примерно 14,14 (с точностью до сотых).