Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равняется 48 см и длина составляет

Grigoryevich

32

Давайте решим эту задачу пошагово:

1. Обозначим длину прямоугольника как \(l\) и ширину как \(w\).

2. Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон, поэтому мы можем записать уравнение: \(2l + 2w = 48\).

3. Разделим оба выражения на 2, чтобы упростить уравнение: \(l + w = 24\).

4. Мы знаем, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле \(S = l \cdot w\). Чтобы найти площадь, нам нужно узнать значения длины и ширины.

5. Используем уравнение \(l + w = 24\) и выразим одну переменную через другую. Например, \(l = 24 - w\).

6. Подставим это значение длины \(l\) в формулу площади: \(S = (24 - w) \cdot w\).

7. Упростим формулу площади: \(S = 24w - w^2\).

8. Теперь у нас есть формула для площади \(S\) в зависимости от ширины \(w\).

9. Для нахождения максимальной площади прямоугольника, нам нужно найти максимум функции \(S = 24w - w^2\). Это будет точка экстремума, которая находится в вершине параболы.

10. Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся методом завершения квадрата. Преобразуем формулу площади \(S\) следующим образом: \(S = -(w^2 - 24w)\).

11. Заметим, что выражение в скобках является квадратным трехчленом. Произведем завершение квадрата, добавив и вычитая \(12^2 = 144\): \(S = -(w^2 - 24w + 144 - 144)\).

12. Разложим полученное выражение на два квадрата: \(S = -(w - 12)^2 + 144\).

13. Теперь мы можем сделать вывод, что максимальная площадь прямоугольника равна 144 квадратным сантиметрам. Это происходит, когда ширина прямоугольника \(w - 12\) равна нулю, что соответствует одинаковым сторонам.

Итак, площадь прямоугольника с периметром 48 см и длиной 12 см равна 144 квадратным сантиметрам.