Какова вероятность того, что хотя бы один из пяти случайно отобранных филиалов из 20 филиалов Сбербанка окажется

Siren

61

Для решения этой задачи нам понадобится некоторая информация, чтобы объяснить вероятность того, что филиал окажется в черте города. Предположим, что у нас есть 20 филиалов Сбербанка и нам нужно выбрать из них 5 случайно.

Первым шагом нужно определить количество способов выбрать 5 филиалов из 20. Это можно рассчитать с помощью комбинаторики, а именно формулы сочетания. Формула сочетания для выбора k элементов из n элементов выглядит так:

\[
C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]

где "!" обозначает факториал, то есть произведение чисел от 1 до данного числа. В данном случае нам нужно выбрать 5 филиалов из 20, поэтому формула примет следующий вид:

\[
C(20,5) = \frac{20!}{5!(20-5)!}
\]

Теперь нужно понять, сколько из этих комбинаций обеспечат наличие хотя бы одного филиала в черте города. Здесь нам поможет принцип дополнения. Проще говоря, мы вычтем из общего числа комбинаций (20 филиалов выбрать 5) количество комбинаций, в которых ни один из филиалов не находится в черте города.

Чтобы найти количество комбинаций без филиалов в черте города, мы рассмотрим количество комбинаций, в которых все 5 филиалов находятся за пределами черты города. Для этого предположим, что у нас есть только 15 филиалов, которые находятся за пределами черты города, а выбрать нам нужно все 5. То есть нам нужно найти количество комбинаций C(15,5).

Используя формулу сочетания, можем запиcать:

\[
C(15,5) = \frac{15!}{5!(15-5)!}
\]

Теперь мы можем рассчитать количество комбинаций с филиалами в черте города, вычтя количество комбинаций без филиалов в черте города из общего числа комбинаций:

Количество комбинаций с филиалами в черте города = Общее количество комбинаций - Количество комбинаций без филиалов в черте города

\[
= C(20,5) - C(15,5) = \frac{20!}{5!(20-5)!} - \frac{15!}{5!(15-5)!}
\]

Теперь нам остается найти искомую вероятность. Вероятность того, что хотя бы один филиал из пяти окажется в черте города, можно рассчитать, поделив количество комбинаций с филиалами в черте города на общее количество комбинаций:

Вероятность = \(\frac{Количество комбинаций с филиалами в черте города}{Общее количество комбинаций}\)

\[
= \frac{C(20,5) - C(15,5)}{C(20,5)}
\]

Вычислим значения для каждого из этих комбинаторных коэффициентов с использованием формул сочетания и подставим их в уравнение:

\[
Количество комбинаций с филиалами в черте города = \frac{20!}{5!(20-5)!} - \frac{15!}{5!(15-5)!}
\]

\[
Общее количество комбинаций = \frac{20!}{5!(20-5)!}
\]

\[
Вероятность = \frac{Количество комбинаций с филиалами в черте города}{Общее количество комбинаций}
\]

Вычислив эти значения, мы получим значение вероятности, которое равно 0,984.