Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой большая из боковых сторон равна 20, если она может быть описана

Морской_Путник

66

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, нам понадобится знать длину большей из боковых сторон и радиус окружности, описывающей трапецию. Для решения этой задачи, нам нужно использовать некоторые геометрические свойства трапеции и окружности.

Итак, давайте начнем с определения формулы для площади прямоугольной трапеции. Площадь трапеции можно выразить с помощью формулы:

\[ S = \frac{(a+b)h}{2} \]

где \( a \) и \( b \) - основания трапеции, а \( h \) - высота трапеции. Основания трапеции \( a \) и \( b \) - это большая и меньшая из боковых сторон трапеции.

В данной задаче нам дано, что большая из боковых сторон равна 20 и трапеция может быть описана окружностью с радиусом \( r \).

Для решения этой задачи, нам необходимо определить значения оснований трапеции. Используя свойства окружности, мы можем сказать, что диаметр окружности равен наибольшей из боковых сторон трапеции. Так как радиус окружности - это половина диаметра, то радиус окружности будет равен половине наибольшей из боковых сторон.

Таким образом, радиус окружности \( r = \frac{20}{2} = 10 \).

Теперь, зная радиус окружности, мы можем использовать свойства прямоугольной трапеции, чтобы найти значение оснований. Мы знаем, что прямоугольная трапеция состоит из двух прямоугольных треугольников. Допустим, \( a \) - это наибольшая из боковых сторон, а \( b \) - это наименьшая из них. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза это наибольшая сторона равная 20, а катеты это радиус окружности и основание \( a \), можем записать следующее:

\[ a^2 = r^2 + h^2 \]

Так как у нас есть только радиус окружности и неизвестная высота \( h \), мы не можем найти значение основания \( a \) напрямую.

Однако, с другой стороны трапеции имеет равные основания, поскольку она является прямоугольной. То есть, \( a = b \).

Теперь у нас есть два уравнения, которые нужно решить для определения значения основания \( a \) и высоты \( h \). Давайте решим эти уравнения вместе.

Уравнение 1:

\[ a^2 = r^2 + h^2 \]

Уравнение 2:

\[ a = b \]

Используя второе уравнение, мы можем заменить \( a \) в первом уравнении:

\[ b^2 = r^2 + h^2 \]

Теперь нам нужно избавиться от неизвестной высоты \( h \) и решить уравнение.

\[ h^2 = b^2 - r^2 \]

\[ h = \sqrt{b^2 - r^2} \]

Теперь, когда мы знаем значение высоты \( h \), мы можем определить значения оснований \( a \) и \( b \). Учитывая, что \( a = b \), мы можем записать:

\[ a = b = \sqrt{b^2 - r^2} \]

Теперь у нас есть значения оснований. Мы можем использовать эти значения в формуле площади трапеции:

\[ S = \frac{(a + b)h}{2} \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{(\sqrt{b^2 - r^2} + \sqrt{b^2 - r^2})\sqrt{b^2 - r^2}}{2} \]

\[ S = \frac{2\sqrt{b^2 - r^2}\sqrt{b^2 - r^2}}{2} \]

\[ S = \sqrt{b^2 - r^2}\sqrt{b^2 - r^2} \]

\[ S = (b^2 - r^2) \]

Теперь мы нашли формулу для площади прямоугольной трапеции:

\[ S = (b^2 - r^2) \]

Используя изначальное условие задачи, где большая из боковых сторон равна 20 и радиус окружности равен 10, мы можем вычислить площадь трапеции:

\[ S = (20^2 - 10^2) \]

\[ S = (400 - 100) \]

\[ S = 300 \]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции, у которой большая из боковых сторон равна 20 и она может быть описана окружностью с радиусом 10, равна 300.