Найдите площадь сферы и объем шара после сечения радиуса сферы. Радиус сечения составляет 3 см и образует угол

Алиса

34

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно.

1. Первым шагом мы найдем радиус сферы. Нам дано, что радиус сечения составляет 3 см и образует угол 60 градусов с радиусом, проведенным в эту точку.

Используя геометрические свойства сферы, мы можем заметить, что образованная секущим плоскостью фигура представляет собой равнобедренный треугольник, где две стороны имеют длину 3 см. Угол между этими сторонами равен 60 градусов.

Теперь давайте воспользуемся тригонометрией для нахождения радиуса сферы. Мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C,\]

где \(c\) - длина стороны, противоположной углу \(C\), и \(a\) и \(b\) - длины двух других сторон.

Подставив известные значения, получим:

\[r^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ.\]

Вычисляя, получаем:

\[r^2 = 18 - 18 \cdot \frac{1}{2}.\]
\[r^2 = 9.\]

Возведя обе части уравнения в степень 0,5, найдем значение радиуса:

\[r = \sqrt{9} = 3.\]

Таким образом, радиус сферы равен 3 см.

2. Вторым шагом мы найдем площадь сферы.

Формула для площади поверхности сферы:

\[S = 4\pi r^2.\]

Подставив значение радиуса \(r = 3\), получим:

\[S = 4\pi \cdot 3^2.\]
\[S = 4\pi \cdot 9.\]
\[S = 36\pi.\]

Таким образом, площадь сферы составляет \(36\pi\) квадратных сантиметров.

3. Третьим шагом мы найдем объем шара после сечения радиуса сферы.

Формула для объема шара:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3.\]

Подставим значение радиуса \(r = 3\):

\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 3^3.\]
\[V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27.\]
\[V = 36\pi.\]

Таким образом, объем шара после сечения радиуса сферы составляет \(36\pi\) кубических сантиметров.

Итак, площадь сферы составляет \(36\pi\) квадратных сантиметров, а объем шара после сечения радиуса сферы также составляет \(36\pi\) кубических сантиметров.