Чему равна длина противолежащего катета прямоугольного треугольника, если угол, противолежащий ему, составляет 60°

Дмитрий

54

Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса.

В прямоугольном треугольнике с углом 60° и известной длиной катета, мы ищем длину противолежащего катета. Давайте обозначим противолежащий катет как \(x\).

Мы знаем, что синус угла 60° равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В данной задаче гипотенуза неизвестна, но нам известна длина другого катета, равная 23,4.

Мы также знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом 90° гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов (теорема Пифагора). Поэтому, мы можем выразить гипотенузу следующим образом:

\[
\text{{гипотенуза}} = \sqrt{{23,4^2 + x^2}}
\]

Теперь мы можем записать соотношение между синусом угла 60° и отношением противолежащего катета к гипотенузе:

\[
\sin{60^\circ} = \frac{x}{{\sqrt{{23,4^2 + x^2}}}}
\]

Чтобы решить это уравнение и найти значение \(x\), давайте сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

\[
\sin^2{60^\circ} = \left(\frac{x}{{\sqrt{{23,4^2 + x^2}}}}\right)^2
\]

Учитывая, что \(\sin^2{60^\circ} = \frac{3}{4}\), мы получаем:

\[
\frac{3}{4} = \frac{x^2}{{23,4^2 + x^2}}
\]

Теперь домножим обе части уравнения на знаменатель:

\[
3 \cdot (23,4^2 + x^2) = 4 \cdot x^2
\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[
3 \cdot 23,4^2 + 3 \cdot x^2 = 4 \cdot x^2
\]

\[
3 \cdot 23,4^2 = 4 \cdot x^2 - 3 \cdot x^2
\]

\[
3 \cdot 23,4^2 = x^2
\]

Теперь найдем значение \(x\) путем извлечения квадратного корня:

\[
x = \sqrt{3 \cdot 23,4^2}
\]

Подсчитаем это значение:

\[
x \approx 28,14
\]

Таким образом, длина противолежащего катета прямоугольного треугольника равна приблизительно 28,14.