Найдите площадь треугольника KMN, если треугольник ABC подобен треугольнику KMN, причем отношение сторон AB к KM равно

Золотая_Завеса

28

Давайте решим данную задачу пошагово.

1. Понимание условия: У нас есть два треугольника, треугольник ABC и треугольник KMN. Они подобны, что означает, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны друг другу.

2. Запись условия: Пусть стороны треугольника ABC обозначаются как AB, BC и CA, а стороны треугольника KMN обозначаются как KM, MN и NK. Мы знаем, что отношение сторон AB к KM равно 3:5.

3. Поиск отношений сторон: По условию, мы имеем \( \frac{{AB}}{{KM}} = \frac{3}{5} \). Мы можем найти отношения других сторон, используя это отношение. Мы знаем, что соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны. Следовательно, отношения всех соответствующих сторон равны.

4. Нахождение площадей треугольников: По условию, площадь треугольника ABC равна 90 квадратных сантиметров. Мы хотим найти площадь треугольника KMN.

5. Связь площадей треугольников: Утверждается, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сторон. То есть, \( \frac{{\text{{Площадь }} KMN}}{{\text{{Площадь }} ABC}} = \left( \frac{{KM}}{{AB}} \right)^2 \).

6. Подставляем данные в формулу: Подставим известные значения в формулу, чтобы найти площадь треугольника KMN. Мы знаем, что \( \frac{{AB}}{{KM}} = \frac{3}{5} \), поэтому \( \left( \frac{{KM}}{{AB}} \right)^2 = \left( \frac{5}{3} \right)^2 \).

7. Вычисляем площадь треугольника KMN: Для вычисления площади треугольника KMN воспользуемся формулой, зная отношение площадей. Таким образом, \( \frac{{\text{{Площадь }} KMN}}{{\text{{Площадь }} ABC}} = \left( \frac{5}{3} \right)^2 \). Подставляем значения: \( \frac{{\text{{Площадь }} KMN}}{{90}} = \frac{25}{9} \).

8. Вычисляем площадь треугольника KMN: Чтобы найти площадь треугольника KMN, умножим обе части равенства на 90. Поэтому, \( \text{{Площадь }} KMN = 90 \cdot \frac{25}{9} \).

9. Получение ответа: Вычислим площадь треугольника KMN. Воспользуемся калькулятором или долгим делением: \( 90 \cdot \frac{25}{9} = 250 \) (квадратных сантиметров).

Итак, площадь треугольника KMN равна 250 квадратных сантиметров.