Найдите площадь треугольника, образованного прямой, проходящей через центр окружности и вершину большего основания

Южанка

47

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства треугольников и трапеции.

Первым шагом найдем длину каждой стороны трапеции. Поскольку у трапеции равные боковые стороны, назовем их \(a\) и \(b\). Периметр трапеции равен сумме длин всех его сторон:

\[a + a + b + b = 26.\]

Сокращаем выражение:

\[2a + 2b = 26.\]

Делим уравнение на 2:

\[a + b = 13.\]

Теперь рассмотрим треугольник, образованный прямой, проходящей через центр окружности и вершину большего основания вписанной в трапецию фигуры. Пусть точка касания окружности делит боковую сторону трапеции в отношении \(k:1\). Тогда, длина большего основания трапеции равна \(kb\), а длина меньшего основания трапеции равна \(ka\).

Таким образом, можем составить уравнение:

\[ka + kb + kb = 13.\]

Упрощаем:

\[ka + 2kb = 13.\]

Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую:

\[ka = 13 - 2kb.\]

Делим обе части на \(k\):

\[a = \dfrac{13 - 2kb}{k}.\]

Теперь мы можем использовать площадь треугольника как полупроизведение длин основания и высоты.

Площадь треугольника равна:

\[S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot r,\]

где \(r\) - радиус окружности, а \(a\) - основание треугольника.

Так как треугольник образован прямой, проходящей через центр окружности и вершину большего основания вписанной в трапецию фигуры, то \(r\) будет равно половине длины большего основания трапеции.

\[r = \dfrac{kb}{2}.\]

Подставляем значения \(a\) и \(r\) в формулу для площади треугольника:

\[S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{13 - 2kb}{k} \cdot \dfrac{kb}{2}.\]

Упрощаем выражение:

\[S = \dfrac{b(13 - 2kb)}{4k}.\]

Итак, мы получили формулу для площади треугольника \(S\), которая зависит от значений \(k\) и \(b\). Ответ на задачу - это эта формула. Необходимо заметить, что формула будет иметь смысл только при значениях \(k\) и \(b\), удовлетворяющих условиям задачи.