Найдите площадь треугольника, образованного прямой, проходящей через центр окружности и вершину большего основания

Южанка

47

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства треугольников и трапеции.

Первым шагом найдем длину каждой стороны трапеции. Поскольку у трапеции равные боковые стороны, назовем их $a$ и $b$. Периметр трапеции равен сумме длин всех его сторон:

$$a+a+b+b=26.$$

Сокращаем выражение:

$$2a+2b=26.$$

Делим уравнение на 2:

$$a+b=13.$$

Теперь рассмотрим треугольник, образованный прямой, проходящей через центр окружности и вершину большего основания вписанной в трапецию фигуры. Пусть точка касания окружности делит боковую сторону трапеции в отношении $k:1$. Тогда, длина большего основания трапеции равна $kb$, а длина меньшего основания трапеции равна $ka$.

Таким образом, можем составить уравнение:

$$ka+kb+kb=13.$$

Упрощаем:

$$ka+2kb=13.$$

Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую:

$$ka=13-2kb.$$

Делим обе части на $k$:

$$a={\displaystyle \frac{13-2kb}{k}}.$$

Теперь мы можем использовать площадь треугольника как полупроизведение длин основания и высоты.

Площадь треугольника равна:

$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a\cdot r,$$

где $r$ - радиус окружности, а $a$ - основание треугольника.

Так как треугольник образован прямой, проходящей через центр окружности и вершину большего основания вписанной в трапецию фигуры, то $r$ будет равно половине длины большего основания трапеции.

$$r={\displaystyle \frac{kb}{2}}.$$

Подставляем значения $a$ и $r$ в формулу для площади треугольника:

$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{13-2kb}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{kb}{2}}.$$

Упрощаем выражение:

$$S={\displaystyle \frac{b(13-2kb)}{4k}}.$$

Итак, мы получили формулу для площади треугольника $S$, которая зависит от значений $k$ и $b$. Ответ на задачу - это эта формула. Необходимо заметить, что формула будет иметь смысл только при значениях $k$ и $b$, удовлетворяющих условиям задачи.