Найдите производную функции f(g(x)), где f(y) = √(1 - y^2) и y = g(x) = cos x. Если вы решите, напишите номера

Pugayuschiy_Shaman

66

Для начала, нам нужно найти производную функции \(g(x) = \cos x\). Давайте начнем с этого.

Шаг 1: Найдите производную функции \(g(x) = \cos x\).

Для этого мы можем использовать тригонометрическое свойство, которое гласит, что производная функции \(\cos x\) равна \(-\sin x\).

Таким образом, \(\frac{dg}{dx} = \frac{d(\cos x)}{dx} = -\sin x\).

Теперь, когда у нас есть производная функции \(g(x)\), мы можем перейти к нахождению производной функции \(f(g(x))\).

Шаг 2: Найдите производную функции \(f(g(x))\).

Для этого мы воспользуемся правилом цепочки для производной функции композиции.

Правило цепочки гласит, что если \(y = f(u)\) и \(u = g(x)\), то производная \(y\) по \(x\) равна произведению производной \(y\) по \(u\) и производной \(u\) по \(x\).

Таким образом, \(\frac{d(f(g(x)))}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}\).

Мы уже имеем \(\frac{du}{dx} = \frac{dg}{dx} = -\sin x\).

Теперь нам нужно найти \(\frac{df}{du}\).

Шаг 3: Найдите производную функции \(f(y)\).

Для этого мы можем использовать правило для производной функции корня и правило для производной функции \(1 - y^2\).

Правило для производной функции корня гласит, что производная функции \(\sqrt{y}\) равна \(\frac{1}{2\sqrt{y}}\).

Правило для производной функции \(1 - y^2\) гласит, что производная функции \(1 - y^2\) равна \(-2y\).

Таким образом, \(\frac{df}{dy} = \frac{d(\sqrt{1 - y^2})}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{1 - y^2}} \cdot (-2y) = -\frac{y}{\sqrt{1 - y^2}}\).

Теперь, когда у нас есть \(\frac{df}{du}\) и \(\frac{du}{dx}\), мы можем вычислить производную функции \(f(g(x))\).

Шаг 4: Вычислите производную функции \(f(g(x))\).

\(\frac{d(f(g(x)))}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{y}{\sqrt{1 - y^2}} \cdot -\sin x\).

Так как \(y = g(x) = \cos x\), мы можем заменить \(y\) на \(\cos x\) в выражении.

\(\frac{d(f(g(x)))}{dx} = -\frac{\cos x}{\sqrt{1 - (\cos x)^2}} \cdot -\sin x\).

Таким образом, производная функции \(f(g(x))\) равна \(\frac{\cos x}{\sqrt{1 - (\cos x)^2}} \cdot \sin x\).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять процесс нахождения производной функции \(f(g(x))\)!