Найдите производную функции при заданном значении переменной: f(x)=√x²+3

Анжела_4507

65

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

Нам дана функция \( f(x) = \sqrt{x^2 + 3} \). Мы хотим найти производную этой функции при заданном значении переменной.

Шаг 1: Найдем производную функции \( f(x) \) с помощью правила дифференцирования составной функции.

Для этого обозначим внутреннюю функцию как \( g(x) = x^2 + 3 \).

Тогда наша функция \( f(x) \) можно переписать в виде \( f(x) = \sqrt{g(x)} \).

Шаг 2: Теперь возьмем производную внутренней функции \( g(x) \).

Производная \( g(x) \), обозначенная как \( g"(x) \), равна сумме производных слагаемых \( x^2 \) и 3.
Так как производная константы равна нулю, то производная \( g(x) \) равна \( g"(x) = 2x \).

Шаг 3: Применяем правило дифференцирования для функции с корнем.

По правилу, производная функции \( f(x) = \sqrt{g(x)} \) равна

\[ f"(x) = \frac{g"(x)}{2\sqrt{g(x)}} \]

Шаг 4: Подставляем значения производной функции \( g"(x) \) и функции \( g(x) \) в полученное выражение.

\[ f"(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}} \]

Шаг 5: Если нам задано значение переменной, мы можем подставить его в полученное выражение для нахождения численного значения производной.

Например, если нам задано \( x = 2 \), то

\[ f"(2) = \frac{2 \cdot 2}{2\sqrt{2^2 + 3}} = \frac{4}{2\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \sqrt{x^2 + 3} \) при \( x = 2 \) равна \( \frac{2}{\sqrt{7}} \).