Найдите радиус окружности, описывающей треугольник, если один из его углов составляет 45°, а длина противолежащей

Янтарь

23

Для решения этой задачи нам понадобится некоторая геометрическая информация. Перед тем как приступить к решению, давайте вспомним некоторые основные свойства окружностей и треугольников.

Свойство окружности, описанной вокруг треугольника, гласит, что центр окружности лежит на перпендикулярной биссектрисе каждого из углов треугольника. А также это свойство утверждает, что длины сторон треугольника равны радиусу окружности, описанной вокруг него.

Теперь давайте перейдем непосредственно к решению данной задачи.

У нас есть треугольник с углом в 45° и противолежащей стороной, длина которой нам неизвестна. Для обозначения длины этой стороны воспользуемся буквой \(a\) (можно выбрать любую другую букву).

Мы также знаем, что радиусом окружности будет являться сторона треугольника. Давайте обозначим его радиус через \(r\).

Теперь вспомним формулу для вычисления радиуса вписанной окружности в треугольник с помощью определителей. Формула имеет вид:

\[r = \frac{a}{2\sin\left(\frac{A}{2}\right)}\]

Где \(a\) - длина противолежащей стороны, \(A\) - угол треугольника.

Подставим известные значения в данную формулу и найдем радиус окружности:

\[r = \frac{a}{2\sin\left(\frac{45°}{2}\right)}\]

Разделив числитель и знаменатель на 2, получим:

\[r = \frac{a}{\sin\left(\frac{45°}{2}\right)}\]

Осталось лишь найти значение синуса половины угла 45°, и мы сможем вычислить радиус окружности.

Для нахождения синуса половины угла воспользуемся формулой:

\[\sin\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}\]

Подставим угол 45°:

\[\sin\left(\frac{45°}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos 45°}{2}}\]

Следует отметить, что значение \(\cos 45°\) равно \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Подставим его и решим:

\[\sin\left(\frac{45°}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}\]

\[\sin\left(\frac{45°}{2}\right) = \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}}\]

\(\sin\left(\frac{45°}{2}\right)\) составляет приблизительно 0.38268343.

Теперь мы можем вычислить радиус окружности:

\[r = \frac{a}{\sin\left(\frac{45°}{2}\right)} = \frac{a}{0.38268343}\]

К сожалению, у нас нет информации о длине противолежащей стороны треугольника, поэтому нам не удастся точно вычислить радиус окружности без этой информации.