Найдите радиус окружности, вписанной в данный равносторонний треугольник со стороной равной 20√3

Volshebnik

51

Хорошо, давайте решим задачу по нахождению радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной​, равной 20√3.

Первым шагом нам понадобится знать некоторые особенности равностороннего треугольника. Все стороны равны между собой, все углы равны 60 градусов.

Также мы можем использовать некоторые свойства вписанной окружности. Вписанная окружность в равносторонний треугольник проходит через середины каждой стороны. Также, радиус окружности перпендикулярен к каждой стороне треугольника, и его концы касаются каждой стороны треугольника.

Чтобы найти радиус вписанной окружности, нам нужно знать длину любой стороны треугольника. Мы знаем, что сторона равностороннего треугольника равна 20√3.

Давайте рассмотрим одну сторону ​​треугольника, применяя свойства вписанной окружности. Пусть сторона треугольника равна a.

Мы можем нарисовать треугольник и вписанную окружность, и нарисовать радиус, перпендикулярный к стороне треугольника. Тогда, с помощью геометрических свойств, можно заметить, что этот радиус будет одновременно высотой треугольника.

Таким образом, имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной стороне треугольника a, и катетом, равным радиусу окружности r.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, имеем:
\[r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\[r^2 + \frac{a^2}{4} = a^2\]

Вычтем \(\frac{a^2}{4}\) из обеих частей уравнения:
\[r^2 = \frac{3a^2}{4}\]

Чтобы найти радиус \(r\), возведем обе части уравнения в квадратный корень:
\[r = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\]

Теперь мы можем подставить значение стороны треугольника \(a = 20\sqrt{3}\):
\[r = \sqrt{\frac{3(20\sqrt{3})^2}{4}}\]

Произведем несколько вычислений:
\[r = \sqrt{\frac{3 \cdot 20^2 \cdot \sqrt{3}^2}{4}}\]
\[r = \sqrt{\frac{3 \cdot 400 \cdot 3}{4}}\]
\[r = \sqrt{9 \cdot 100}\]
\[r = 3 \cdot 10\]
\[r = 30\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной \(20\sqrt{3}\), равен 30.

Мы можем заключить, что радиус вписанной в треугольник окружности равен 30.