Найдите радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, если радиус окружности, описанной вокруг

Semen

69

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, мы можем использовать формулу:

\[r = \frac{s}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}\]

где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(s\) - длина стороны многоугольника, \(n\) - количество сторон многоугольника.

Из условия задачи мы знаем, что радиус окружности, описанной вокруг многоугольника, равен 4 см. Это означает, что это и есть радиус самого многоугольника, \(R = 4\) см.

Также нам дана длина стороны многоугольника, \(s = 4\sqrt{3}\) см.

Тогда, подставляя известные значения в формулу, получаем:

\[4 = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}\]

Чтобы решить эту уравнение относительно \(n\), нам нужно избавиться от тангенса. Перепишем уравнение следующим образом:

\[2 \cdot \tan(\frac{\pi}{n}) = \frac{4\sqrt{3}}{4}\]

Теперь делим обе части уравнения на 2:

\[\tan(\frac{\pi}{n}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Чтобы найти \(\frac{\pi}{n}\), мы можем применить обратную функцию тангенса. В данном случае, \(\frac{\pi}{n} = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{2})\).

Нам известно, что \(\arctan(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}\).

Теперь мы можем решить уравнение:

\[\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{3}\]

Мы умножаем обе части на \(n\) и делим на \(\pi\):

\[n = 3\]

Таким образом, количество сторон многоугольника равно 3. Используя формулу для радиуса вписанной окружности, мы можем найти его значение:

\[r = \frac{s}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{3})} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \tan(\frac{\pi}{3})} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{3}} = 2\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 2 см. Количество сторон многоугольника также равно 3.