Найдите радиус описанной окружности трапеции ABCD, если известно, что ABCD - вписанная трапеция, центр окружности

Viktorovich

8

Для начала, давайте вспомним некоторые важные свойства описанных и вписанных окружностей.

Вписанная окружность трапеции касается всех четырех сторон трапеции. Её центр находится внутри трапеции и является центром вписанной окружности. Описанная окружность, напротив, проходит через вершины трапеции.

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойство, что центр описанной окружности лежит на перпендикуляре, проведенном из центра вписанной окружности к большему основанию трапеции.

Поэтому, давайте обозначим \(O\) — центр описанной окружности, \(I\) — центр вписанной окружности, \(R\) — радиус описанной окружности.

Теперь приступим к решению задачи. У нас есть известные значения \(AB = 10\) см и \(AC\). Мы должны найти радиус \(R\) описанной окружности.

1. Найдем длину большего основания \(AD\). Так как у нас имеется вписанная трапеция, основания \(AB\) и \(CD\) параллельны. Значит, \(AD = AB + CD = AB + BC\).

2. Посчитаем полупериметр трапеции \(s\). Он равен полусумме оснований: \(s = \frac{{AB + CD}}{2}\).

3. Рассчитаем высоту трапеции \(h\), используя формулу площади трапеции: \(S = \frac{{h \cdot (AB + CD)}}{2}\). Заметим, что высота трапеции является радиусом вписанной окружности \(I\).

4. Определим расстояние \(IO\) между центрами описанной и вписанной окружностей. Так как центр описанной окружности находится на перпендикуляре из центра вписанной окружности к основанию \(AD\), то расстояние \(IO\) равно \(h + R\).

5. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника \(IOA\), получим: \(IO^2 = IA^2 + OA^2\).

6. Заменим значения выражениями, связанными с радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности, а также подставим известные значение из задачи: \((h + R)^2 = (R - h)^2 + R^2\).

7. Разрешим получившееся уравнение относительно \(R\).

8. Найденное значение \(R\) будет радиусом описанной окружности трапеции ABCD.

Это подробное решение позволит школьнику лучше понять задачу и процесс ее решения. Помните, что при решении математических задач полезно нарисовать схематический рисунок, чтобы визуализировать поставленную задачу и ваши шаги решения.