Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если его диагональ BD1 составляет 24 см и образует угол
Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если его диагональ BD1 составляет 24 см и образует угол 45° с плоскостью грани D.A.A1, а с ребром DD1 образует угол 60°. Решение. Поскольку все грани прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны, у нас есть B.A DAA1. Прямая BD1 пересекает плоскость DAA1 в точке а, а прямая AD1 - проекция на эту плоскость. Поэтому это угол между диагональю и прямоугольным треугольником AD1B, в котором Z.A. По условию, известны углы ZAD1B и ZD1. Находим AB - AD1 см. Из прямоугольного треугольника BD1D, в котором /D = BD1 = ZBD = по условию, получаем: см. Из треугольника AD1D
Belochka 51
Задача: Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если его диагональ BD1 составляет 24 см и образует угол 45° с плоскостью грани D.A.A1, а с ребром DD1 образует угол 60°.Решение:
Поскольку все грани прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны, мы можем утверждать, что B.A ⊥ DAA1. Заметим, что прямая BD1 пересекает плоскость DAA1 в точке A, а прямая AD1 - проекция на эту плоскость. Поэтому задача сводится к нахождению размеров прямоугольного параллелепипеда.
Для начала, обратим внимание на прямоугольный треугольник AD1B, в котором угол между диагональю BD1 и ребром AD1 равен 45°. Задача состоит в нахождении стороны AB - AD1.
Также, нам дано, что угол между диагональю BD1 и ребром DD1 равен 60°. Обозначим этот угол как ∠D.
Воспользуемся соотношениями в прямоугольных треугольниках для нахождения стороны AB.
Из прямоугольного треугольника BD1D, в котором ∠D = 60° и BD1 = 24 см, получаем:
\[BD1 = \frac{DD1}{\sin\angle D} \Rightarrow DD1 = BD1 \cdot \sin\angle D = 24 \cdot \sin{60} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} \, \text{см}.\]
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AD1B. Мы знаем, что угол между диагональю BD1 и стороной AB (AD1) составляет 45°. Обозначим этот угол как ∠A.
Используя соотношение для тангенса угла, получим:
\(\tan\angle A = \frac{AB}{AD1} \Rightarrow AB = AD1 \cdot \tan\angle A.\)
Так как уже известно, что сторона AD1 равна 12 см, нам нужно найти значение тангенса угла A.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BD1A1. Угол A1DB составляет 45°, а угол D1AB равен 90° - 45° = 45°. Таким образом, у нас есть два угла 45° в этом треугольнике, следовательно, он является прямоугольным.
Поэтому можем записать соотношение для тангенса угла ∠A:
\(\tan\angle A = \frac{AB}{BD1} \Rightarrow AB = BD1 \cdot \tan\angle A = 24 \cdot \tan{45} = 24 \cdot 1 = 24 \, \text{см}.\)
Таким образом, мы нашли, что стороны AB и DD1 равны 24 см, а сторона AD1 равна 12 см.
Ответ: Размеры прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны AB = 24 см, AD1 = 12 см и DD1 = 12√3 см.