3. Имеется куб ABCDA1B1C1D1 со стороной 2. а) Докажите, что прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BDD1. б) Докажите

Aleksey

50

Давайте рассмотрим задачу по шагам:

а) Чтобы доказать, что прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BDD1, нам необходимо показать, что угол между этой прямой и любой прямой, лежащей в плоскости BDD1, равен 90 градусов.

Плоскость BDD1 проходит через вершины B, D и D1 куба ABCDA1B1C1D1. Заметим, что прямая A1C1 лежит в грани BCD1D. Поскольку все грани куба ABCDA1B1C1D1 прямоугольные, каждая прямая, лежащая внутри любой из граней, будет перпендикулярна этой грани. Следовательно, прямая A1C1 перпендикулярна грани BCD1D и, следовательно, плоскости BDD1.

б) Чтобы доказать, что плоскость A1C1D перпендикулярна прямой BD1, мы должны показать, что любая прямая, лежащая в плоскости A1C1D, перпендикулярна прямой BD1.

Возьмем две точки на плоскости A1C1D, например, A1 и D. Соединив их прямой, получим прямую AD. Теперь заметим, что прямая AD лежит в грани ADD1D1 куба ABCDA1B1C1D1. Поскольку этот куб имеет прямоугольные грани, каждая прямая, лежащая внутри грани, будет перпендикулярна грани. Таким образом, прямая AD, и, следовательно, любая прямая лежащая в плоскости A1C1D, перпендикулярна прямой BD1.

в) Чтобы провести прямую, перпендикулярную плоскости A1C1D через точку K, нужно провести прямую, которая будет проходить через точку K и быть перпендикулярной плоскости A1C1D.

Учитывая, что точка K является серединой отрезка C1D1, мы можем провести прямую, проходящую через точку K и параллельную стороне A1C1. Так как прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BDD1, а прямая, проведенная через точку K, перпендикулярна плоскости A1C1D, эта прямая, проходящая через K, будет перпендикулярна и плоскости A1C1D.

г) Чтобы определить длину части проведенной прямой, находящейся внутри куба, нужно узнать длину отрезка, который соединяет точку K с пересечением этой прямой и грани BCD1D внутри куба.

Поскольку точка K является серединой отрезка C1D1, отрезок KD1 равен отрезку KC1. Длина стороны куба ABCDA1B1C1D1 равна 2, а значит отрезок KС1 также равен 2. Поскольку отрезок KD1 перпендикулярен плоскости BDD1, его проекция на эту плоскость будет отрезком KD, и длина этого отрезка также равна 2.

Таким образом, длина части проведенной прямой, находящейся внутри куба, равна 2.

д) Чтобы определить, в каком отношении плоскость A1C1D делит эту часть, мы сравниваем отношение длин отрезков KD и KD1.

Из предыдущего пункта, мы уже знаем, что отрезок KD равен 2. Обратимся к плоскости A1C1D: прямая A1C1 делит эту часть на две равные части, так как точка K является серединой C1D1 и отрезок KC1 равен отрезку KD1. Значит, объемлющая плоскость A1C1D делит отрезок KD на две равные части.

Ответ:
а) Прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BDD1.
б) Плоскость A1C1D перпендикулярна прямой BD1.
в) Через точку K, середину отрезка C1D1, можно провести прямую, перпендикулярную плоскости A1C1D.
г) Длина части проведенной прямой, находящейся внутри куба, равна 2.
д) Плоскость A1C1D делит отрезок KD на две равные части.