Найдите решения уравнения 29cos2x+21cosx21tgx−20=0, которые находятся в интервале [-25π2;-11π

Буран

8

Хорошо, решим уравнение 29cos(2x) + 21cos(x) * 21tg(x) - 20 = 0. Давайте разложим заданное уравнение на два уравнения и найдем решения для каждого из них.

Первое уравнение: 29cos(2x) + 21cos(x) * 21tg(x) = 20.
Рассмотрим первое слагаемое. Мы знаем, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1, поэтому мы можем переписать отдельно слагаемое 29cos(2x) следующим образом: 29(2cos^2(x) - 1).

Теперь разберемся с вторым слагаемым. Аналогично, у нас есть cos(x) * 21tg(x). Здесь нам поможет формула tg(x) = sin(x) / cos(x), поэтому мы можем переписать это слагаемое следующим образом: 21sin(x) / cos^2(x).

Мы получили следующее уравнение: 29(2cos^2(x) - 1) + 21sin(x) / cos^2(x) = 20.

Теперь продолжим решение этого уравнения:

58cos^2(x) - 29 + 21sin(x) / cos^2(x) = 20
Умножим обе части уравнения на cos^2(x):

58cos^4(x) - 29cos^2(x) + 21sin(x) = 20cos^2(x)

Теперь заменим sin(x) на 1 - cos^2(x) (используя тригонометрическую тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1):

58cos^4(x) - 29cos^2(x) + 21(1 - cos^2(x)) = 20cos^2(x)

58cos^4(x) - 29cos^2(x) + 21 - 21cos^2(x) = 20cos^2(x)

58cos^4(x) - 50cos^2(x) + 21 = 20cos^2(x)

58cos^4(x) - 70cos^2(x) + 21 = 0

Теперь давайте заменим cos^2(x) на t и перепишем уравнение:

58t^2 - 70t + 21 = 0

Мы получили квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта. Выберем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = (-70)^2 - 4 * 58 * 21
D = 4900 - 4872
D = 28

Дискриминант равен 28. Теперь найдем значения t, используя формулу:

t = (-b ± √D) / 2a

t1 = (-(-70) + √28) / (2 * 58)
t1 = (70 + √28) / 116
t2 = (-(-70) - √28) / (2 * 58)
t2 = (70 - √28) / 116

Вычислим значения t:

t1 = (70 + 2√7) / 116
t2 = (70 - 2√7) / 116

Теперь найдем значения cos^2(x) для каждого значения t:

cos^2(x)_1 = (70 + 2√7) / 116
cos^2(x)_2 = (70 - 2√7) / 116

Нам нужно найти значения x, поэтому возьмем косинусный корень из каждого значения cos^2(x):

cos(x)_1 = √((70 + 2√7) / 116)
cos(x)_2 = √((70 - 2√7) / 116)

Теперь найдем значения x для каждого из этих косинусных значений, используя функцию арккосинуса:

x_1 = arccos(√((70 + 2√7) / 116))
x_2 = arccos(√((70 - 2√7) / 116))

Это значения x, соответствующие первому уравнению. Теперь перейдем ко второму уравнению: 29cos(2x) + 21cos(x) * 21tg(x) = -20.

Разложим 29cos(2x) и 21cos(x) * 21tg(x) аналогично предыдущему уравнению:

29(2cos^2(x) - 1) + 21sin(x) / cos^2(x) = -20

58cos^2(x) - 29 - 21sin(x) / cos^2(x) = -20

58cos^2(x) - 29cos^2(x) + 21sin(x) = -20cos^2(x)

29cos^2(x) - 21sin(x) = -20cos^2(x)

29cos^2(x) + 20cos^2(x) = 21sin(x)

49cos^2(x) = 21sin(x)

Давайте разложим это уравнение:

49(1 - sin^2(x)) = 21sin(x)

49 - 49sin^2(x) = 21sin(x)

49sin^2(x) + 21sin(x) - 49 = 0

Теперь заменим sin(x) на t и перепишем уравнение:

49t^2 + 21t - 49 = 0

Так же как и раньше, мы получили квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы дискриминанта. Рассчитаем дискриминант:

D = b^2 - 4ac

D = (21)^2 - 4 * 49 * (-49)
D = 441 + 9604
D = 10045

Дискриминант равен 10045. Теперь найдем значения t, используя формулу:

t = (-b ± √D) / 2a

t1 = (-21 + √10045) / (2 * 49)
t2 = (-21 - √10045) / (2 * 49)

Вычислим значения t:

t1 = (-21 + √10045) / 98
t2 = (-21 - √10045) / 98

Теперь найдем значения sin(x) для каждого значения t:

sin(x)_1 = (-21 + √10045) / 98
sin(x)_2 = (-21 - √10045) / 98

Нам нужно найти значения x, поэтому возьмем синусный корень из каждого значения sin(x):

x_1 = arcsin((-21 + √10045) / 98)
x_2 = arcsin((-21 - √10045) / 98)

Это значения x, соответствующие второму уравнению.

Таким образом, искомые решения уравнения 29cos(2x) + 21cos(x) * 21tg(x) - 20 = 0, которые находятся в интервале [-25π/2;-11π/2], равны x_1 и x_2, где x_1 = arccos(√((70 + 2√7) / 116)) и x_2 = arccos(√((70 - 2√7) / 116)) для первого уравнения, и x_1 = arcsin((-21 + √10045) / 98) и x_2 = arcsin((-21 - √10045) / 98) для второго уравнения.