Найдите сумму первых трех членов геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и второго членов равна
Найдите сумму первых трех членов геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и второго членов равна 51, а сумма второго и третьего членов равна 102.
Лягушка 14
Для того чтобы решить данную задачу, давайте введем обозначения. Пусть первый член геометрической прогрессии равен \(a\), а знаменатель прогрессии равен \(q\).Теперь по условию задачи у нас есть два равенства:
1. \(a + aq = 51\)
2. \(aq + aq^2 = ?\)
Для начала, найдем значения \(a\) и \(q\) из первого равенства. Для этого приведем его к более удобному виду:
\(a (1 + q) = 51\)
Таким образом, мы получили уравнение относительно \(a\):
\(a = \frac{51}{1 + q}\) - это формула для нахождения значения первого члена.
Теперь, чтобы найти значение суммы первых трех членов, заменим значения \(a\) во втором равенстве:
\(\frac{51}{1 + q} \cdot q + \frac{51}{1 + q} \cdot q^2 = ?\)
А теперь решим это уравнение:
\(\frac{51}{1 + q} \cdot q + \frac{51}{1 + q} \cdot q^2 = \frac{51q}{1 + q} + \frac{51q^2}{1 + q}\)
На данный момент у нас неизвестно значение \(q\), поэтому мы не можем сразу подставить его в уравнение. Однако, мы можем использовать информацию о сумме первого и второго членов для получения более удобной формы уравнения.
Из условия задачи известно, что сумма первого и второго членов равна 51. Это значит, что:
\(a + aq = 51\)
Подставим значение \(a\) из этого равенства:
\(\frac{51}{1 + q} + \frac{51q}{1 + q} = 51\)
Теперь с учетом этого равенства, мы можем продолжить решение уравнения и найти итоговый ответ.