Найдите сумму выражения: 1+3+32+...+3151+3+32+...+37. Ответ: 1. Какая формула используется для решения этой задачи?

Рак

34

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать формулу для суммы конечной арифметической прогрессии.

1. Формула для суммы конечной арифметической прогрессии:
\( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \),
где \( S_n \) - сумма первых \( n \) членов прогрессии,
\( a \) - первый член прогрессии,
\( l \) - последний член прогрессии,
\( n \) - количество членов прогрессии.

2. Рассмотрим выражение: 37 + 1.
При сложении 37 и 1, мы получаем значение равное 38.

Теперь рассмотрим выражение: 37 - 1.
При вычитании 1 из 37, мы получаем значение равное 36.

И, наконец, выражение: 38 + 1.
При сложении 38 и 1, мы получаем значение равное 39.

3. Для нахождения суммы выражения: 1 + 3 + 32 + ... + 3151 + 3 + 32 + ... + 37, сначала найдем количество слагаемых в этом выражении.
Мы видим, что последовательность состоит из чисел 1, 3, 32, ..., 3151, 3, 32, ..., 37.
Заметим, что последовательность повторяется дважды.
Найдем количество членов внутри скобок: 1, 3, 32, ..., 3151.
Последний член этой подпоследовательности равен 3151.
Чтобы найти количество членов, воспользуемся формулой рекуррентной последовательности \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_n\) - \(n\)ый член последовательности, \(a_1\) - первый член последовательности, \(d\) - разность между членами последовательности.
Приняв \(a_1 = 1\) и \(d = 3-1 = 2\), мы можем решить уравнение:
\[3151 = 1 + (n-1)\cdot2\].
Переносим 1 на другую сторону:
\[3151-1 = (n-1)\cdot2\].
Находим разность:
\[3150 = n\cdot2 - 2\].
Переносим 2 на другую сторону:
\[3150+2 = n\cdot2\].
Сокращаем:
\[3152 = n\cdot2\].
Получаем:
\[n = \frac{3152}{2} = 1576\].

Теперь, вернемся к исходному выражению.
Мы получили, что количество слагаемых равно 1576.
Так как выражение повторяется дважды, то умножим на 2:
\(2 \cdot 1576 = 3152\).
Дальше, применяем формулу для суммы конечной арифметической прогрессии:
\(S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\),
где \(S\) - искомая сумма,
\(n\) - количество членов прогрессии,
\(a_1\) - первый член прогрессии,
\(a_n\) - последний член прогрессии.

Применяем формулу:
\(S = \frac{3152}{2}(1 + 3151) = 1576 \cdot 3152 = 4967552\).

Таким образом, результат выражения: 1 + 3 + 32 + ... + 3151 + 3 + 32 + ... + 37 равен 4967552.