Який об єм правильної чотирикутної піраміди, у якої бічне ребро утворює кут 30° з висотою, якщо відрізок, який з єднує

Лунный_Шаман

56

Щоб знайти об"єм правильної чотирикутної піраміди, спочатку нам потрібно знайти довжину бічного ребра та висоту піраміди. Дано, що відрізок, який з"єднує основу з серединою бічного ребра, дорівнює \(\sqrt{3}\).

Оскільки бічне ребро утворює кут 30° з висотою, ми можемо використати трикутник правильної трикутної піраміди для знаходження довжини висоти. У цьому трикутнику, один кут - 30°, а другий кут є прямим кутом (90°). Тому третій кут складає 180° - 30° - 90° = 60°.

Знаючи, що трикутник є правильним, ми знаємо, що всі його сторони однакові, тому протилежна сторона 60° також має довжину \(\sqrt{3}\). Отже, трикутник є рівнобедреним, з базою в 2 рази довшою за бічне ребро піраміди. Довжина бази складає \(2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).

Тепер ми можемо знайти висоту піраміди, використовуючи теорему Піфагора. Розглядаючи прямокутний трикутник з основою, половиною бічного ребра та висотою піраміди, ми можемо записати наступне:

\[(\text{висота})^2 = (\text{гіпотенуза})^2 - (\text{катет})^2\]
\[(\text{висота})^2 = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3}/2)^2\]
\[(\text{висота})^2 = 3 - 3/4\]
\[(\text{висота})^2 = 9/4\]
\[(\text{висота}) = \sqrt{9/4} = 3/2\]

Отже, висота піраміди дорівнює \(3/2\).

Для знаходження об"єму правильної чотирикутної піраміди використовуємо формулу:

\[Об"єм = \frac{1}{3} \times \text{Площа основи} \times \text{Висота}\]

Оскільки піраміда має правильну чотирикутну основу, площа основи може бути обчислена як \(a^2\), де \(a\) - довжина сторони чотирикутника.

Знайдемо довжину сторони \(a\) чотирикутника:

\[a = 2 \times \text{бічне ребро} = 2 \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\]

Тепер можемо обчислити об"єм:

\[Об"єм = \frac{1}{3} \times (2\sqrt{3})^2 \times \frac{3}{2}\]
\[Об"єм = \frac{1}{3} \times 12 \times \frac{3}{2}\]
\[Об"єм = 2 \times 3\]
\[Об"єм = 6\]

Таким чином, об"єм даної правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6.