Найдите точку пересечения касательных к графику функции y=x^2-7x+12, одна из которых проходит через точку с абсциссой

Шарик

32

Для начала найдем производную функции \(y = x^2 - 7x + 12\) по \(x\).

\[
y" = 2x - 7
\]

Теперь найдем значение производной в точке с абсциссой 3, чтобы найти угловой коэффициент касательной через эту точку.

\[
y"(3) = 2 \cdot 3 - 7 = -1
\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции, проходящей через точку (3, y(3)), имеет вид \(y = -x + b\), где \(b\) - неизвестная константа.

Подставим координаты точки (3, y(3)) в данное уравнение:

\(y(3) = -3 + b\).

Так как данная точка лежит на графике функции, подставим также ее значения в исходное уравнение \(y = x^2 - 7x + 12\):

\(y(3) = 3^2 - 7 \cdot 3 + 12 = 0\).

Таким образом, получаем уравнение:

\(-3 + b = 0,\)

\(b = 3.\)

Таким образом, первая касательная имеет уравнение \(y = -x + 3\).

Аналогичные шаги можно проделать для второй касательной. Для этого найдем значение производной \(y"(a)\), где \(a\) - абсцисса второй точки.

Подставим значение \(a\) в уравнение производной:

\(y"(a) = 2a - 7\).

Уравнение вида \(y = 2a - 7x + c\) будет уравнением касательной, проходящей через точку \((a, y(a))\), где \(c\) - неизвестная константа.

Снова подставим координаты точки в данное уравнение:

\(y(a) = 2a - 7a + c = -5a + c\).

Аналогично первому случаю, подстановкой в исходное уравнение \(y = x^2 - 7x + 12\) получим:

\(y(a) = a^2 - 7a + 12 = 0\).

Решим это квадратное уравнение:

\(a^2 - 7a + 12 = (a - 3)(a - 4) = 0\).

\(a = 3\) или \(a = 4\).

Таким образом, координаты вторых точек равны \((3, 0)\) или \((4, 0)\).

Подставим первый вариант и найдем \(c\):

\(-5 \cdot 3 + c = 0,\)
\(c = 15.\)

Для второго варианта:

\(-5 \cdot 4 + c = 0,\)
\(c = 20.\)

Итак, получаем уравнения для двух касательных:

Первая касательная: \(y = -x + 3\).

Вторая касательная (через точку (3, 0)): \(y = -5x + 15\).

Вторая касательная (через точку (4, 0)): \(y = -5x + 20\).

Таким образом, точки пересечения касательных - это точки, в которых уравнения касательных равны:

\[
\begin{cases}
-x + 3 = -5x + 15, \\
-x + 3 = -5x + 20.
\end{cases}
\]

Первое уравнение:

\(4x = 12\).

\(x = 3\).

Подставим \(x\) в любое из уравнений касательных:

\(y = -3 + 3 = 0\).

Таким образом, первая точка пересечения равна (3, 0).

Второе уравнение:

\(6x = 17\).

\(x \approx 2.833\).

Подставим \(x\) в любое из уравнений касательных:

\(y \approx -5 \cdot 2.833 + 20 \approx 6.835\).

Таким образом, вторая точка пересечения примерно равна (2.833, 6.835).

Итак, точки пересечения касательных равны (3, 0) и примерно (2.833, 6.835).