Найдите угол между прямой ad1 и плоскостью, образованной точками dd1c1 в кубе abcda1b1c1d1

Игоревна

4

Хорошо, давайте разберемся. У нас есть куб ABCDA1B1C1D1, где A и A1, B и B1, C и C1, D и D1 - соответственно вершины куба. Также в задаче упоминаются точки D, D1, C1.

Прямая AD1 задается через две ее точки, А и D1. Мы можем найти направляющий вектор этой прямой, вычислив разность координат этих точек:

\[\overrightarrow{AD1} = \overrightarrow{D1} - \overrightarrow{A}\]

Теперь, чтобы найти угол между прямой AD1 и плоскостью, которая образована точками D, D1 и C1, мы должны найти нормальный вектор плоскости. Этот вектор будет перпендикулярен плоскости и примерно указывает в какое направление она "наклонена". Мы можем найти нормальный вектор как векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости.

\[\overrightarrow{DD1} = \overrightarrow{D1} - \overrightarrow{D}\]
\[\overrightarrow{DC1} = \overrightarrow{C1} - \overrightarrow{D}\]

Тогда нормальный вектор плоскости будет:

\[\overrightarrow{N} = \overrightarrow{DD1} \times \overrightarrow{DC1}\]

Наконец, чтобы найти угол между прямой AD1 и плоскостью, мы можем использовать формулу:

\[\cos\theta = \frac{{\overrightarrow{AD1} \cdot \overrightarrow{N}}}{{|\overrightarrow{AD1}| \cdot |\overrightarrow{N}|}}\]

Где \(\overrightarrow{AD1} \cdot \overrightarrow{N}\) - это скалярное произведение векторов, а \(|\overrightarrow{AD1}|\) и \(|\overrightarrow{N}|\) - их длины.

Теперь, раскроем уравнение и посчитаем все выражения, чтобы получить окончательное значение угла.

Пожалуйста, подождите некоторое время, пока я проведу все расчеты.