Найдите длину вектора, заданного соотношением a(k-1;2;5) и b (4;-2;k+7), если эти векторы являются перпендикулярными

Kroshka

11

Для начала, нам известно, что векторы a и b являются перпендикулярными. Для векторов, чтобы они были перпендикулярными, их скалярное произведение должно равняться нулю.

Таким образом, мы можем записать условие перпендикулярности в виде уравнения:

\(a \cdot b = 0\)

Теперь давайте посчитаем скалярное произведение двух векторов.

Так как вектор a имеет координаты (k-1, 2, 5), а вектор b имеет координаты (4, -2, k+7), скалярное произведение будет:

\(a \cdot b = (k-1)(4) + (2)(-2) + (5)(k+7)\)

Распределим множители внутри скобок:

\(a \cdot b = 4k - 4 - 4 + 5k + 35\)

Объединим подобные слагаемые:

\(a \cdot b = 9k + 27\)

Теперь у нас есть выражение для скалярного произведения a и b. Поскольку a и b перпендикулярны, оно должно быть равно нулю.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\(9k + 27 = 0\)

Чтобы найти значение k, решим это уравнение:

\(9k = -27\)

Делим обе части на 9:

\(k = -3\)

Таким образом, значение k равно -3. Теперь мы можем найти длину вектора a или b (так как они имеют одинаковую длину).

Длина вектора, заданного его координатами (x, y, z) вычисляется по формуле:

\(|a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

Для вектора a с координатами (k-1, 2, 5):

\(|a| = \sqrt{(k-1)^2 + 2^2 + 5^2}\)

Подставим значение k:

\(|a| = \sqrt{(-3-1)^2 + 2^2 + 5^2}\)

Вычислим:

\(|a| = \sqrt{16 + 4 + 25}\)

\(|a| = \sqrt{45}\)

\(|a| = 3 \sqrt{5}\)

Таким образом, длина вектора a (или b) равна \(3 \sqrt{5}\).