Найдите упрощенное выражение и его значение при x =1/4: (9x – 1)²(9x + 1)². варианты: 4025/256 225/256 4225/256

Tainstvennyy_Leprekon

26

Дано: выражение \( (9x - 1)^2(9x + 1)^2 \) и значение \( x = \frac{1}{4} \).

Для вывода упрощенного выражения, мы будем использовать свойство квадрата разности: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Применяя это свойство к выражению, получим:

\( (9x - 1)^2 = (9x)^2 - 2(9x)(1) + 1^2 = 81x^2 - 18x + 1 \)

\( (9x + 1)^2 = (9x)^2 + 2(9x)(1) + 1^2 = 81x^2 + 18x + 1 \)

Теперь, чтобы упростить выражение \( (9x - 1)^2(9x + 1)^2 \), умножим два полученных квадрата:

\[
\begin{aligned}
(81x^2 - 18x + 1)(81x^2 + 18x + 1) &= 81x^2 \cdot 81x^2 + 81x^2 \cdot 18x + 81x^2 \cdot 1 \\
&- 18x \cdot 81x^2 - 18x \cdot 18x - 18x \cdot 1 \\
&+ 1 \cdot 81x^2 + 1 \cdot 18x + 1 \cdot 1 \\
\end{aligned}
\]

Упростим каждое слагаемое:

\[
\begin{aligned}
81x^2 \cdot 81x^2 &= 6561x^4 \\
81x^2 \cdot 18x &= 1458x^3 \\
81x^2 &= 81x^2 \\
- 18x \cdot 81x^2 &= -1458x^3 \\
- 18x \cdot 18x &= -324x^2 \\
- 18x &= -18x \\
1 \cdot 81x^2 &= 81x^2 \\
1 \cdot 18x &= 18x \\
1 \cdot 1 &= 1 \\
\end{aligned}
\]

Теперь, собрав все слагаемые вместе, получим упрощенное выражение:

\[
6561x^4 + 1458x^3 + 81x^2 - 1458x^3 - 324x^2 - 18x + 81x^2 + 18x + 1
\]

Многие слагаемые в этом выражении уничтожатся при сложении или вычитании:

\[
6561x^4 + 81x^2 + 1
\]

Теперь, чтобы найти значение этого упрощенного выражения при \( x = \frac{1}{4} \), подставим \( \frac{1}{4} \) вместо \( x \):

\[
6561\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 81\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1
\]

Выполняя вычисления по очереди, получаем:

\[
6561\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 81\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 1 = \frac{6561}{256} + \frac{81}{16} + 1
\]

Требуется найти числовое значение этой суммы. Для упрощения дробей, сводим все слагаемые к общему знаменателю 256:

\[
\frac{6561}{256} + \frac{81}{16} + \frac{256}{256} = \frac{6561}{256} + \frac{1296}{256} + \frac{256}{256}
\]

Производим сложение числителей:

\[
\frac{6561 + 1296 + 256}{256}
\]

\[
\frac{8125}{256}
\]

Таким образом, упрощенное выражение равно \( \frac{8125}{256} \).

Проверим, что это значение соответствует варианту ответа из задачи. Варианты ответа были:

A) \( \frac{4025}{256} \)
B) \( \frac{225}{256} \)
C) \( \frac{4225}{256} \)
D) \( \frac{1225}{256} \)
E) \( \frac{2025}{256} \)

Значение \( \frac{8125}{256} \) не совпадает с ни одним из вариантов ответа.

Таким образом, данное упрощенное выражение не соответствует ни одному из предложенных вариантов.