Найдите уравнение окружности, которая проходит через точку с координатами (4, 0) на оси Ox и через точку с координатами

Yantarka

38

Для начала, чтобы найти уравнение окружности, нам нужно найти координаты ее центра и радиус. Мы уже знаем, что окружность проходит через две точки: (4, 0) и (0, 10). Давайте найдем центр окружности.

Центр окружности представляет собой точку, которая находится на полпути между двумя прямолинейными отрезками, соединяющими данные точки. В данном случае, чтобы найти координаты центра окружности, мы должны найти среднее арифметическое координат x и y.

Координаты центра окружности (x₀, y₀) вычисляются следующим образом:

\[ x₀ = \dfrac{{x_1 + x_2}}{2} \]
\[ y₀ = \dfrac{{y_1 + y_2}}{2} \]

Подставляя значения наших точек (4, 0) и (0, 10) в эти формулы, получаем:

\[ x₀ = \dfrac{{4 + 0}}{2} = 2 \]
\[ y₀ = \dfrac{{0 + 10}}{2} = 5 \]

Таким образом, координаты центра окружности равны (2, 5).

Теперь нам нужно найти радиус окружности. Радиус - это расстояние от центра до любой точки на окружности. Мы можем использовать одну из данных точек, чтобы вычислить радиус.

Расстояние между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) вычисляется по формуле:

\[ r = \sqrt{{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2}} \]

Подставляя значения нашей точки (4, 0) и центра (2, 5) в эту формулу, получаем:

\[ r = \sqrt{{(4 - 2)^2 + (0 - 5)^2}} = \sqrt{{2^2 + (-5)^2}} = \sqrt{{4 + 25}} = \sqrt{{29}} \]

Таким образом, радиус окружности равен \(\sqrt{{29}}\).

Итак, уравнение окружности будет иметь вид:

\[ (x - x₀)^2 + (y - y₀)^2 = r^2 \]

Подставляя значения центра и радиуса, получаем:

\[ (x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 29 \]

Это и есть искомое уравнение окружности, проходящей через точку (4, 0) и (0, 10).