Найдите уравнение окружности, вписанной в треугольник с заданными вершинами A (–3; –1), B (1; 2), C

Skvoz_Pesok

20

(4; –2).

Чтобы найти уравнение окружности, вписанной в данный треугольник, нам понадобятся следующие шаги:

Шаг 1: Найдите длины сторон треугольника.
Длина стороны треугольника можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости. Для этого найдем длины сторон AB, BC и CA.

AB: \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
AB: \(\sqrt{(1 - (-3))^2 + (2 - (-1))^2}\)
AB: \(\sqrt{4^2 + 3^2}\)
AB: \(\sqrt{16 + 9}\)
AB: \(\sqrt{25}\)
AB: 5

BC: \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
BC: \(\sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - (-2))^2}\)
BC: \(\sqrt{(-3)^2 + 4^2}\)
BC: \(\sqrt{9 + 16}\)
BC: \(\sqrt{25}\)
BC: 5

CA: \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
CA: \(\sqrt{(-3 - 1)^2 + (-1 - 2)^2}\)
CA: \(\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2}\)
CA: \(\sqrt{16 + 9}\)
CA: \(\sqrt{25}\)
CA: 5

Шаг 2: Найдите полупериметр треугольника.
Полупериметр треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон и разделив на 2.

Полупериметр треугольника (s): \(\frac{{AB + BC + CA}}{2}\)
Полупериметр треугольника (s): \(\frac{{5 + 5 + 5}}{2}\)
Полупериметр треугольника (s): \(\frac{{15}}{2}\)
Полупериметр треугольника (s): 7.5

Шаг 3: Найдите площадь треугольника.
Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона.

Площадь треугольника (S): \(\sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - BC) \cdot (s - CA)}\)
Площадь треугольника (S): \(\sqrt{7.5 \cdot (7.5 - 5) \cdot (7.5 - 5) \cdot (7.5 - 5)}\)
Площадь треугольника (S): \(\sqrt{7.5 \cdot 2.5 \cdot 2.5 \cdot 2.5}\)
Площадь треугольника (S): \(\sqrt{46.875}\)
Площадь треугольника (S): 6.854

Шаг 4: Найдите радиус вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности можно найти, разделив площадь треугольника на полупериметр треугольника.

Радиус вписанной окружности (r): \(\frac{{S}}{{s}}\)
Радиус вписанной окружности (r): \(\frac{{6.854}}{{7.5}}\)
Радиус вписанной окружности (r): 0.913

Шаг 5: Найдите координаты центра вписанной окружности.
Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис треугольника. Для этого найдем точки пересечения биссектрис.

AB: \((\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2})\)
AB: \((\frac{{-3 + 1}}{2}, \frac{{-1 + 2}}{2})\)
AB: \((\frac{{-2}}{2}, \frac{{1}}{2})\)
AB: \((-1, 0.5)\)

BC: \((\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2})\)
BC: \((\frac{{1 + 4}}{2}, \frac{{2 + (-2)}}{2})\)
BC: \((\frac{{5}}{2}, \frac{{0}}{2})\)
BC: \((2.5, 0)\)

CA: \((\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2})\)
CA: \((\frac{{-3 + 1}}{2}, \frac{{-1 + 2}}{2})\)
CA: \((\frac{{-2}}{2}, \frac{{1}}{2})\)
CA: \((-1, 0.5)\)

Итак, точка пересечения биссектрис треугольника - это точка \((-1, 0.5)\), которая является центром вписанной окружности.

Шаг 6: Найдите уравнение окружности.
Уравнение окружности можно записать в виде \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус.

Уравнение окружности: \((x - (-1))^2 + (y - 0.5)^2 = 0.913^2\)
Уравнение окружности: \((x + 1)^2 + (y - 0.5)^2 = 0.913^2\)