Найдите уравнения касательных и нормалей к параболе y = 2x^2+1 в указанных точках: x_1= -1; x_2

Кира

52

Чтобы найти уравнения касательных и нормалей к параболе \(y = 2x^2 + 1\) в указанных точках \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 2\), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите производную функции параболы \(y = 2x^2 + 1\). Для этого возьмите производную каждого члена функции по отдельности. При нахождении производной \(y"\) вы получите уравнение касательной к параболе.

По правилу дифференцирования степенной функции, производная \(y"\) будет равна:

\[y" = 4x\]

Шаг 2: Подставьте значения \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 2\) в уравнение \(y"\) для нахождения наклона касательной:

При \(x = -1\):
\[y" = 4(-1) = -4\]

При \(x = 2\):
\[y" = 4(2) = 8\]

Таким образом, наклоны касательных к параболе в точках \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 2\) равны соответственно -4 и 8.

Шаг 3: Найдите значения функции параболы \(y = 2x^2 + 1\) в указанных точках \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 2\). Замените \(x\) на значения точек и найдите соответствующие значения \(y_1\) и \(y_2\):

При \(x = -1\):
\[y_1 = 2(-1)^2 + 1 = 3\]

При \(x = 2\):
\[y_2 = 2(2)^2 + 1 = 9\]

Шаг 4: Используйте найденные значения наклонов и точек для определения уравнений касательных и нормалей.

Уравнение касательной в точке \((-1, 3)\) будет иметь вид:

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

Подставим значения:

\[y - 3 = -4(x + 1)\]

Уравнение нормали в точке \((-1, 3)\) будет иметь вид:

\[y - y_1 = \frac{1}{m}(x - x_1)\]

Подставим значения:

\[y - 3 = \frac{1}{-4}(x + 1)\]

Уравнение касательной в точке \((2, 9)\) будет иметь вид:

\[y - y_2 = m(x - x_2)\]

Подставим значения:

\[y - 9 = 8(x - 2)\]

Уравнение нормали в точке \((2, 9)\) будет иметь вид:

\[y - y_2 = \frac{1}{m}(x - x_2)\]

Подставим значения:

\[y - 9 = \frac{1}{8}(x - 2)\]

Итак, уравнения касательных и нормалей к параболе \(y = 2x^2 + 1\) в указанных точках \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 2\) соответственно:

Уравнение касательной в точке \((-1, 3)\): \(y - 3 =-4(x + 1)\)

Уравнение нормали в точке \((-1, 3)\): \(y - 3 = \frac{1}{-4}(x + 1)\)

Уравнение касательной в точке \((2, 9)\): \(y - 9 = 8(x - 2)\)

Уравнение нормали в точке \((2, 9)\): \(y - 9 = \frac{1}{8}(x - 2)\)