Найдите векторное произведение и синус угла между данными векторами а=(-4;-8;8) и b=(4;3;2). Найдите также площадь

Пуфик_9046

18

Чтобы найти векторное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), используем следующую формулу:

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\]

Где \(a_x\), \(a_y\) и \(a_z\) - компоненты вектора \(\mathbf{a}\), а \(b_x\), \(b_y\) и \(b_z\) - компоненты вектора \(\mathbf{b}\), \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{k}\) - орты базиса координат.

Подставим значения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) в формулу:

\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & -8 & 8 \\ 4 & 3 & 2 \end{vmatrix}\)

Теперь вычислим определитель:

\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} -8 & 8 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} -4 & 8 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} -4 & -8 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}\)

\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \cdot ((-8 \cdot 2) - (8 \cdot 3)) - \mathbf{j} \cdot ((-4 \cdot 2) - (8 \cdot 4)) + \mathbf{k} \cdot ((-4 \cdot 3) - (-8 \cdot 4))\)

\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \cdot (-16 - 24) - \mathbf{j} \cdot (-8 - 32) + \mathbf{k} \cdot (-12 + 32)\)

\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \cdot (-40) - \mathbf{j} \cdot (-40) + \mathbf{k} \cdot 20\)

\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -40\mathbf{i} + 40\mathbf{j} + 20\mathbf{k}\)

Таким образом, векторное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равно \(-40\mathbf{i} + 40\mathbf{j} + 20\mathbf{k}\).

Для вычисления синуса угла между данными векторами, воспользуемся формулой:

\[\sin(\theta) = \frac{\lVert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \rVert}{\lVert \mathbf{a} \rVert \cdot \lVert \mathbf{b} \rVert}\]

Где \(\theta\) - угол между векторами, \(\lVert \mathbf{a} \rVert\) и \(\lVert \mathbf{b} \rVert\) - длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Вычислим длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\(\lVert \mathbf{a} \rVert = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64 + 64} = \sqrt{144} = 12\)

\(\lVert \mathbf{b} \rVert = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}\)

Теперь вычислим длину векторного произведения:

\(\lVert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \rVert = \sqrt{(-40)^2 + 40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 1600 + 400} = \sqrt{3600} = 60\)

Подставим полученные значения в формулу для синуса:

\(\sin(\theta) = \frac{\lVert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \rVert}{\lVert \mathbf{a} \rVert \cdot \lVert \mathbf{b} \rVert} = \frac{60}{12 \cdot \sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}\)

Таким образом, синус угла \(\theta\) между данными векторами равен \(\frac{5}{\sqrt{29}}\).

Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на данных векторах, можно использовать следующую формулу:

\[S = \lVert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \rVert\]

Где \(\lVert \mathbf{a} \times \mathbf{b} \rVert\) - длина векторного произведения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на данных векторах, равна 60.