Найдите вероятность, что среди пяти приобретенных деталей: 1) будет хотя бы одна бракованная; 2) будет ровно

Смурфик

34

Для решения этой задачи, нам необходимо знать общее количество возможных комбинаций приобретенных деталей, а также количество комбинаций, удовлетворяющих заданным условиям.

1) Давайте начнем с нахождения вероятности того, что хотя бы одна деталь из пяти будет бракованной. Чтобы найти это, нам нужно вычислить долю комбинаций, которые содержат хотя бы одну бракованную деталь.

Для этого используем метод комбинаторики. Поскольку все приобретенные детали независимы друг от друга, мы можем использовать принцип умножения.

Общее количество возможных комбинаций приобретенных деталей равно \(2^5 = 32\). Это потому, что каждая деталь может быть либо бракованной (обозначим её как "Б"), либо исправной (обозначим "И"), и у нас есть 5 деталей.

Теперь нужно определить, сколько из этих комбинаций содержат хотя бы одну бракованную деталь. Чтобы точно найти это количество, мы вычтем количество комбинаций, в которых все детали идеальные, из общего числа комбинаций.

Количество комбинаций с 5 идеальными деталями равно \(1\), так как у нас только одна комбинация, в которой все детали идеальные ("ИИИИИ").

Таким образом, количество комбинаций с хотя бы одной бракованной деталью равно \(32 - 1 = 31\).

Так как мы знаем общее количество комбинаций и количество комбинаций с хотя бы одной бракованной деталью, мы можем найти вероятность.

Вероятность того, что хотя бы одна деталь из пяти будет бракованной, равна \(\frac{{31}}{{32}}\).

2) Теперь перейдем к следующей задаче, где нужно определить вероятность того, что среди пяти приобретенных деталей будет ровно три бракованные детали.

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Формула для вычисления вероятности такого события выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где \(n\) - общее количество деталей (в нашем случае 5), \(k\) - количество бракованных деталей (3), \(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\) (5 по 3), а \(p\) - вероятность получить бракованную деталь (вероятность, что отдельная деталь будет бракованной).

Вероятность получения бракованной детали вам должна быть дана или описана в учебнике. Давайте предположим, что вероятность получения бракованной детали равна \(0.2\).

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[P(X=3) = C_5^3 \cdot 0.2^3 \cdot (1-0.2)^{5-3}\]

Посчитаем значение:

\[P(X=3) = \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} \cdot 0.2^3 \cdot 0.8^2\]

\[P(X=3) = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} \cdot 0.008 \cdot 0.64\]

\[P(X=3) = 10 \cdot 0.008 \cdot 0.64\]

\[P(X=3) = 0.0512\]

Таким образом, вероятность того, что среди пяти приобретенных деталей будет ровно три бракованные детали, составляет \(0.0512\) или \(5.12\%\).

3) Последняя задача требует определения вероятности того, что среди пяти приобретенных деталей будет ровно две бракованные детали.

Мы можем использовать ту же формулу биномиального распределения, но на этот раз количество бракованных деталей будет равно 2.

\[P(X=2) = C_5^2 \cdot 0.2^2 \cdot (1-0.2)^{5-2}\]

Подставим значения и вычислим:

\[P(X=2) = \frac{{5!}}{{2!(5-2)!}} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^3\]

\[P(X=2) = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} \cdot 0.04 \cdot 0.512\]

\[P(X=2) = 10 \cdot 0.04 \cdot 0.512\]

\[P(X=2) = 0.2048\]

Таким образом, вероятность того, что среди пяти приобретенных деталей будет ровно две бракованные детали, составляет \(0.2048\) или \(20.48\%\).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять данный материал и ответить на поставленные вопросы. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать! Я всегда готов помочь.